(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法

第八节多元函数的极值与拉格朗日乘数法粹多元函数的极值和最值尉条怡板借“故格月乘教法准小结思考题作业多元西歇的板值与拉格朗日来政法一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义曹元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义设在点P的录个邻域,f(25<AX(P,l则称点Po为函数的极大值点.f(P,)为极大值.类似可定义极小值点和极小值.多元西歇的板值与拉格朗日来政法函数的极大函数的极大值与极小值统称为函数的极值.值点与极小值点统称为函数的.多元函数的木及值也是局部的，是与P。的邻域内的值比较.有时,极小值可能比极大值还大.'多元团数的极值与押格朗日柳敬法函数?存在极值,在简单的情形下是宰易判断的z例函数z<3x2+4y2梁圆折物面在(0.0)点取极小值.(也是最小值)f一例函数z=-=yx:+y:“下半个圆锥面0在(0.0)点联炒大人.(tz星挂孔借),*人例函数z二xy马鞍面在(0,0)点无极值.0多元西歇的板值与拉格朗日李定理1(必要条件)设函数z=下(x,7)在点(xo7。)具有偏导数,昆在点(xu。,y)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:亡GroyoJ=0,月Groyo=0.证不妨设z=(x,y)在点(ro,y。)处有极大值,则对:tay)的綦邻城内代意(27(都有f(x;y)<了(xouy0),政当5万y,x丿xo时,有(r,y0)<丁(ro7o)说明一元函数(r,y,)在x=x处有极大值,必有一(ro,y,)=0;类似地可证一(x,y,)=0.5矗多元出歇的果值与拉格朗日柯敬法推广如果三元函数x=了(x,y,z)在点P(xo,yo,zo)具有偏导数,则它在P(ru,y,zo)有极值的必要条件为,切xoyoyzo)=0;孔(xosyoizo)三0d人仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.相口一一ain如,点(0,0)是函数z=功的驻点,但不是极值点.如何判定个驻点是否为极值点'多元函歇的板值与拉格朝日柯政法水定理2(充分条件)设函数z=下(x,9)在点(xo,y)的树邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,伟0江江g扬技伟东仪技则f(x,y)在点(xo,yo)处是否取得极值的条件如下:(U6ACl-82>i0时有柳信,当4<0时有极大值,当4>0时有极小值;(B<0时没有极值;(3)4C-8*=0时可能有极值,也可能无极值.多元面数的极值与拉格朝日秤数河求函数z=了(x,7)极值的一般步骤:第一步解方程组翼伽黜)=0力(x,7)=0求出实数解,得驻点.第sP秀于侯fj怡定Fsyo求出一阶偏导数的值、B、C.第三步定出4C-B:的符号,再判定是否是极值.余为又要赵t当北格加日李犍江例求函数丁(x,7)=3axy-x3-3(a>0)的极值./【=3觐y一3繁z=0了=3ax372二0叉j=-6x,丨=3a,历=<63.在点(0.0)处4AC-=-9a:<0英(&J小春f人节柳息;在点仇町处，AC-=27a20<且A=-6a<0故Gs,“)在(am有极大值,即7(a,a)a5.解丿驻点(0.0),(a,a).余为又要赵t扬格加日木犍江.求由方程蜈+yz+zz一z翼+zy一4z一m=0确定的函数z=丁(x,7)的极值.解法一将方程两边分别对x,y求偏导数,2x+2zz一2-4z5=0274222干2一4z7=0由函数取恨值的志要条件知,驻点为PGz1,将上方程组再分别对x,y求偏导数,1相二z1一,旦三矿n万0,C砂I5一210