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(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法

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    • 第八节多元函数的极值与拉格朗日乘数法粹多元函数的极值和最值尉条怡板借“故格月乘教法准小结思考题作业多元西歇的板值与拉格朗日来政法一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义曹元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义设在点P的录个邻域,f(25AX(P,l则称点Po为函数的极大值点.f(P,)为极大值.类似可定义极小值点和极小值.多元西歇的板值与拉格朗日来政法函数的极大函数的极大值与极小值统称为函数的极值.值点与极小值点统称为函数的.多元函数的木及值也是局部的,是与P。的邻域内的值比较.有时,极小值可能比极大值还大.多元团数的极值与押格朗日柳敬法函数?存在极值,在简单的情形下是宰易判断的z例函数z3x2+4y2梁圆折物面在(0.0)点取极小值.(也是最小值)f一例函数z=-=yx:+y:“下半个圆锥面0在(0.0)点联炒大人.(tz星挂孔借),*人例函数z二xy马鞍面在(0,0)点无极值.0多元西歇的板值与拉格朗日李定理1(必要条件)设函数z=下(x,7)在点(xo7。)具有偏导数,昆在点(xu。,y)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:亡GroyoJ=0,月Groyo=0.证不妨设z=(x,y)在点(ro,y。)处有极大值,则对:tay)的綦邻城内代意(27(都有f(x;y)了(xouy0),政当5万y,x丿xo时,有(r,y0)i0时有柳信,当40时有极小值;(B0)的极值./【=3觐y一3繁z=0了=3ax372二0叉j=-6x,丨=3a,历=63.在点(0.0)处4AC-=-9a:0英(&J小春f人节柳息;在点仇町处,AC-=27a20且A=-6a0故Gs,“)在(am有极大值,即7(a,a)a5.解丿驻点(0.0),(a,a).余为又要赵t扬格加日木犍江.求由方程蜈+yz+zz一z翼+zy一4z一m=0确定的函数z=丁(x,7)的极值.解法一将方程两边分别对x,y求偏导数,2x+2zz一2-4z5=0274222干2一4z7=0由函数取恨值的志要条件知,驻点为PGz1,将上方程组再分别对x,y求偏导数,1相二z1一,旦三矿n万0,C砂I5一210

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