2013高考数学考前60天冲刺押题之解析几何

2013高考数学考前60天冲刺押题解析几何【押题1】已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以a+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b- 4a为方向向量的直线交于点P，其中R(1) 求点P的轨迹E；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，试说明理由【押题指数】【解析1】(1) a+b = ( m,)， 直线AP方程为；又b - 4a =(m, - 4), 直线NP方程为；由、消去得 ，即 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4；当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆(2)假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ;椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0, 设M(x1, y1), N(x2, y2), 则有， =25k2- 4×2(20k- 30)，又 |MF| =, |NF| =, 而； +,由此可得，由、得k = 1，且此时0故存在实数k = 1满足要求【押题2】在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM1y轴于M1，过N作NN1x轴于点N1，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）. （1）求曲线C的方程；试题编辑zccsxm （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|； （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明【押题指数】【解析】（1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为（0，），于是点N的坐标为，N1的坐标为，所以由由此得由即所求的方程表示的曲线C是椭圆. 3分 （2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为由方程组依题意当时，设交点PQ的中点为，则又而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.7分 （3）由题意有，则有方程组 由（1）得 （5）将（2），（5）代入（3）有整理并将（4）代入得，易知因为B（1，0），S，故，所以【押题3】已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。（1） 求双曲线C的标准方程；（2） 若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。【押题指数】【解析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得且的面积为1,双曲线C的标准方程为。（2）设，联立得显然否则直线与双曲线C只有一个交点。即则又试题编辑zccsxm以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)即化简整理得 ，且均满足当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！当时，直线的方程为，直线过定点（，0）直线定点，定点坐标为（，0）。【押题4】已知圆：x2+y2=c2(c0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。【押题指数】【解析】设R(x,y)是圆：x2y2=c2上任一点，则S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得：故所求的椭圆方程为：椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。设直线l的方程为：x=ctcos y=tsin (t为参数，为倾斜角) 把代入圆的方程得：（ctcos）cos2(tsin)2=c2整理得：t22ccost2=0 设的两根为t1、t2,解得：t1=0,t2=2ccos 把代入椭圆方程得：（ctcos）2+2(tsin)2=2c2 整理得：(1+sin2)t22ccostc2=0 设方程的两根为t3、t4,由韦达定理：t3t4=,t3t4=，=又故有：即cos2(1+sin2)2=1整理得：又0，）sin=0=0或sin2=故得：或。综合得：=0或或。【押题5】已知点（x,y）在椭圆C：（ab0）上运动求点的轨迹C方程；若把轨迹C的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。【押题指数】【解析】椭圆C：的参数方程为：为参数），又设点是轨迹C上任意一点，则轨迹C的参数方程为：（为参数）消去参数得：把换成x,y，所求轨迹C的方程为： 把方程表达为函数解析式：，下证函数在上是增函数，在上是减函数。设x1x20，作差= 当0时，则有0于是得到：01故由式知：0当时，则有于是得到：1故由式知：0故得到函数在上是增函数，在上是减函数。因此在（上有最大值，当且仅当时取到最大值。要使函数在内取到最大值，则只要设椭圆半焦距为c，于是有e1即符合题意的离心率的取值范围是。【押题6】已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。（1） 求椭圆的离心率与;（2） 对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.【押题指数】【解析】1)函数.又,故为第一象限角,且. 函数图像的一条对称轴方程式是: 得又c为半点焦距， 由知椭圆C的方程可化为 （1） 又焦点F的坐标为（），AB所在的直线方程为 （2） （2）代入（1）展开整理得 （3） 设A（），B（），弦AB的中点N（），则是方程（3）的两个不等的实数根，由韦达定试题编辑zccsxm理得 （4） 即为所求。 2）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数使得等式成立。设由1）中各点的坐标可得：又点在椭圆上，代入（1）式得 化为： （5） 由（2）和（4）式得 又两点在椭圆上，故1有入（5）式化简得： 由得到又是唯一确定的实数，且，故存在角，使成立，则有若，则存在角使等式成立；若由与于是用代换，同样证得存在角使等式：成立.综合上述，对于任意一点，总存在角使等式：成立.【押题7】抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足 （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程； （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上； （3）当时，若点P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.【押题指数】【解析】（1）由抛物线C的方程得，焦点坐标为 （2）设直线PA的方程为点 的解将式代入式，得，于是 又点 的解将式代入式，得，于是 由已知得， 设点M的坐标为将式和式代入上式，得所以线段PM的中点在y轴上 （3）因为点P（1，1）在抛物线由式知将代入式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为试题编辑zccsxm故当即【押题8】已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使 （1）求椭圆C的方程； （2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值.【押题指数】【解析】（1）据题意，设椭圆C的方程为 ，直线x=4 为椭圆C的准线， 又， M为椭圆C短轴上的顶点，F1MF2为等边三角形且，椭圆C的方程为 （2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，则直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得： 则设4k2+3=t，则t>3，此时综上，直线PQ与x轴垂直时，PF1Q的面积最大，且最大面积为3. 设PF1Q内切圆半径为r，则时，PF1Q内切圆面积最大，此时不存在，直线PQ与x轴垂直，【押题9】已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）过点Q（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=4于点E，点Q分 所成比为，点E分所成比为，求证+为定值，并计算出该定值.【押题指数】【解析】（1）由条件得，所以方程 （2）易知直线l斜率存在，令试题编辑zccsxm由由由由（1）将代入有【名校试题】1.【浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期3月调研】在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点 ,且. （）求直线与交点的轨迹的方程； （）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直 线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜 率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由解：（）依题意知直线的方程为： 2分直线的方程为： 3分设是直线与交点，×得由整理得 4分不与原点重合点不在轨迹M上5分轨迹M的方程为（）6分（）点()在轨迹M上解得，即点A的坐标为7分设，则直线AE方程为：，代入并整理得9分 设, 点在轨迹M上， ,