数学中的类比法.doc

数学中的类比法摘 要类比是数学学习中经常用到的一种推理方法.它是发现概念、定理、公式的重要手段，也是发现问题、探索问题、解决问题的重要方法.本文主要研究了：将平面几何的一些定理推广到空间几何中、将代数中的集合运算与概率事件中的运算进行类比、从有限到无限的类比、降次类比、降元类比等.这有助于我们借助类比对象间的“类比关系”更清晰的认识两个相似体系间的内在联系，逐渐养成发散思维能力和创新意识，通过类比还可以降低问题解决的难度.关键词：类比；降维类比；降次类比；几何.The analogy method in mathematicsAbstract:Analogy is a reasoning method is often used in mathematics learning. In mathematics, analogy is an important means of found concept, theorem, formula, and found the problem, explore the problems, the important way to solve the problem.This paper mainly studied: some of plane geometry theorem is generalized to space geometry; Collection of the algebraic operations with probability event in operations analogy; From limited to unlimited analogy; Drop analogy; Yuan analogy, etc. This will help us with the analogy between objects "analogy" more clear understanding of the intrinsic relationship between two similar system, and gradually form a divergent thinking ability and innovation consciousness, through the analogy can also reduce the difficulty of problem solving. Keywords: analogy, dimension reduction, fall time analogy, geometric analogy目 录引 言11 文献综述11.1国内外研究现状11.2国内外研究现状评价11.3提出问题22类比法22.1 类比法22.2 类比法的分类22.3类比法的意义33 类比法在数学中的应用43.1升维类比43.1.1勾股定理的类比43.1.2射影定理的类比53.1.3余弦定理的类比53.1.4维维安尼定理的类比73.1.5相似三角形性质的类比73.2降元类比法83.3降次类比法93.4结构的类比93.4.1类比定比分点公式求解函数的值域93.4.2类比三角公式证明等式103.4.3类比斜率公式求解圆锥曲线的最值问题113.5从有限到无限的类比123.6随机事件与集合的类比134 容易出错的“类比法”144.1从平面到空间的类比144.2从等式到不等式的类比145 结论155.1主要发现155.2启示155.3局限性155.4努力方向16参考文献17致 谢18引 言学习和研究数学，关键在于掌握数学思想和方法.如果说数学概念和数学命题是数学的骨架和躯体，那么数学思想和方法就是数学的血液和精髓.要想真正学会学好数学，把握数学的内在规律、要点和实质，就必须领会和研究数学的思想和方法，它是解决数学问题的利器，是进行数学发现和创造的有力工具1.也可以这么说，数学知识是静止的，是被理解和被掌握的，其存在和应用具有很大的局限性，而数学思想和方法是运动的，是长期起作用的，它贯穿数学的始终，具有普遍的意义的永恒的价值.掌握一种数学思想和方法将终生受益.类比法就是众多数学思想和方法中一种.类比法是由两个或两类思考对象在某些属性上相同或相似推出它们在另一属性上也有相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的逻辑推理方法1.类比是一种很重要的推理方法和数学思想.无论是过去还是现在，在科学研究和生产实践中，特别是数学解题和教学中发挥着及其重要的作用.波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”.可以说类比是探索问题、解决问题与发现问题的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比也是发现概念、方法、定理和公式的重要手段.例如，空间的毕达哥拉斯定理、空间余弦定理、空间射影定理等的发现及证明.多项式理论的建立便是类比在代数中取得全面成功的一个例子.我们在建立了整数理论的基础上，把多项式与整数类比.由整数的运算性质、整除性质、带余除法定理等可以得出多项式的相关性质.本文我将从以下几方面介绍数学中的类比法，包括：平面到空间的类比、降元类比、降次类比、结构相似的类比、有限到无限的类、随机事件与集合的类比以及一些错误使用类比法的情况.1 文献综述1.1国内外研究现状在查阅到的国内外参考文献1-15中：刘俊、付本路、姚玉平在文献1中介绍了类比法并给出一些运用类比法的例子.孙颖、杨文青、陆建在文献2、3、4中主要介绍了类比法在数学中的应用，如：概念类比，方法类比，教学思想类比，结构形式类比等.方宝初在文献5中主要给出了一些运用类比的典型例题.对于类比法的研究，最具影响力的是美国数学家、教育学家波利亚.波利亚在文献6、8、14中，通过对数学史上一些著名猜想的剖析，再现了一些重大发现产生的渊源及过程，认为归纳和类比是两种最基本的猜测方法，并以此为据提出了合理推理的一般模式,认为类比就是某种类型的相似性2.通过具体的例子论述合情推理（归纳类比）在数学发现和解题方面的作用.他还结合中学数学的实际呼吁：“要教学生猜想，要教合情推理”.朱华伟文献7中，分别从高维与底维的类比、一般与特殊的类比、结构相似的类比几个方面进行探讨.张文忠在文献12中主要研究了升维类比法.蔡小雄在文献15中，从归纳猜想、类比迁移、进退互化、整体处理、正难则反五个反面论述类比法在解题中的应用.1.2国内外研究现状评价 对于类比法在数学教学中的应用，前人已经做了比较系统、全面的研究.但是涉及的类比思想比较浅显、知识点也比较简单；对于类比法在数学解题中的应用，例题比较丰富，也不乏典型例题，但是大部分文献中将类比法与其他数学方法（数形结合法、分类讨论法、化归法、换元法、特殊化法等）一起进行研究，类比法所占的篇幅极少，只是几个典型的例题而已，研究的内容比较单一，不够系统化.1.3提出问题 类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的方法.我将从类比法的认识（定义、分类、意义），类比法的应用（降维类比、降次类比、降元类比、结构类比等），类比法的错误运用三方面进行研究，运用举例、分析与综合、观察、猜想等方法进行研究.通过对现有文献的归纳、总结、研究，对类比法进行更全面的研究.2类比法类比是发现新命题、新结论的途径之一.数学中许多重要的结论，往往是先通过类比发现，然后再给出一般性的证明.在数学史上，很多成果都是通过类比推理得到的.数学家欧拉就是一位擅长类比推理的高手.2.1 类比法类比法是由两个或两类思考对象在某些属性上相同或相似推出它们在另一属性上也有相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的逻辑推理方法1.2.2 类比法的分类类比法可分为简单类比和复杂类比两类.简单类比是一种形式性质类比，它具有明显性、直接性的特征.其模式为： 对象A具有属性 a b c 对象B具有属性 a b 猜测对象B具有属性 c复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测.其模式为： H蕴含A H蕴含B ，B为真 猜测A可能为真按比较对象可分为：特征类比、结构类比；按类比推理的实际应用可分为：模糊类比、精确类比.类比是一种主观的不充分的似真推理，因此要确认其正确性还必须经过严格的逻辑论证.3运用类比解决问题，其基本过程可用如下的框图表示： 类比 原问题 类比问题 原问题解决 类比问题解决 猜想2.3类比法的意义 类比法不仅是一种特殊到特殊的推理方法，也是一种求解问题思路、猜测问题答案或结论的发现方法.首先，从思维方向看，其思维是多方向，多角度的.归纳是从特殊到一般，演绎是从一般到特殊.与归纳和演绎的思维方向固定不同，它是从具体到具体的推理.其次，从结论收前提制约的程度看，类比的结论受前提制约的程度小.在演绎法中，结论断定的范围不超出前提断定的范围；在不完全归纳法中，结论断定的范围超出前提断定的范围，结论是前提的概括.而对于类比法，它能跨越原有理论框架，把新事实作为应予解释的系统，在广阔领域内进行类比，提出新的猜想，推动科学进步.再次，就适用范围的广阔性而言是演绎法和归纳法无可比拟的，演绎法或归纳法都是在同类对象的范围内进行；类比法即可在同类范围内进行，也可在异类范围内进行.最后，关于类比的创造机制问题，它是直觉思维与逻辑思维的有机结合.因此，数学的发展时至今日，研究数学的方法和手段越来越多，但类比法仍是我们数学教学及解题中的一种重要的手段.它能使人们的思维和解题能力得到进一步加强.3 类比法在数学中的应用类比是探索问题、解决问题与发现问题的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比也是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，类比法在数学解题中的应用也十分广泛，它也是数学教学中的一种重要手段3.1升维类比平面几何和立体几何在研究对象、方法和构成图形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在两者之间进行类比是研究它们性质的一种有效的方法.将平面（二维）中的对象升级到空间（三维）中的对象，这种类比方法称为升维类比。通过升维类比可得出空间的毕达哥拉斯定理、空间的维维阿尼定理等.3.1.1勾股定理的类比在平面几何中，勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么.将直角三角形与直角四面体类比可得出类比结论：D-ABC为直角四面体，其三个面的面积分别为A,B,C,D点所对面的面积为D，则.已知：如图1，D-ABC是直角四面体，,.求证：.证明：作CDAB,交AB于O，连接OD,则CDOD，ODAB.