浙江省瑞安阁巷中学八年级数学下册《4.4反证法》
§4.4 反证法,路边苦李,王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.,王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?,小故事:,假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子一定会被过路人摘去解渴。,那么，树上的李子不会这么多。,这与事实矛盾。 说明李子是甜的这个假设是错的,所以，李子是苦的,思考:,王戎的推理方法是: 假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别 人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李.,发生在身边的例子:,妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!,上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?,他是如何推断该命题的正确性的?,小芳全家没外出旅游.,小芳全家没外出旅游.,假设小芳全家外出旅游,那么今天不可能碰到小芳,与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾,所以假设不成立,所以小芳全家没有外出旅游.,定义:,在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。,例:,求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.,证明:,假设_,那么_.,因为已知_,这与“_ _”矛盾.,所以假设不成立,即求证的命题正确.,l3与l2 不相交.,l3l2,l1l2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,反证法的步骤,一、提出假设,二、推理论证,三、得出矛盾,四、结论成立,1、写出下列各结论的反面： （1）a/b （2）a0 （3）b是正数 （4）ab ( 5 )至多有一个 （6）至少有一个,a0,b是0或负数,a不垂直于b,a不平行b,一个也没有,至少有两个,变式训练,1、“ab”的反面应是（ ） （A）ab （B）a b （C）a=b （D）a=b或a b,2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？ _,D,假设三角形中有两个或三个角是直角,用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于°,已知：如图， ，是的内角,求证： ，中至少有一个角大于或等于度,证明,假设所求证的结论不成立，即 °， °，° 则 度 这于矛盾 所以假设命题， 所以，所求证的结论成立,三角形的内角和等于°,不成立,相信自己行，你就行！,试一试,1=2 (两直线平行,同位角相等),这与已知的12矛盾,假设不成立,证明：假设结论不成立，则ab,合作学习:,求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.,(1)你首先会选择哪一种证明方法?,(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?,定理,已知:如图，l1l2 ,l 2 l 3,求证： ll,ll , ll, 则过点p就有两条直线l、 l都与l平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾,证明：假设l不平行l，则l与l相交，设交点为p.,p,所以假设不成立，所求证的结论成立，,即 ll,合作学习:,求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.,定理,(3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?,已知:如图，l1l2 ,l 2 l 3,求证: l1l3,l,p,l1l2 ,l 2l 3 直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 交，那么和另一条直线也相交）,证明:作直线l交直线l2于点p，,2 =1=3（两直线平行，同位角相等）, l1l3 （同位角相等，两直线平行）,定理:在同一平面内,如果两条直线都 和第三条直线平行,那么这两条 直线也互相平行.,几何语言表示: ab,bc, ac,已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且 l1l3,l2l3, 求证:1=2,l1,l2,l3,l,1,2,证明: l1l3,l2l3(已知) l1l2 (在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行) 1=2(两直线平行,同位角相等),学以致用:,常用的互为否定的表述方式：,是不是；存在不存在 平行不平行；垂直不垂直 等于不等于；都是不都是 大于不大于；小于不小于 至少有一个一个也没有 至少有三个至多有两个 至少有n个至多有(n-1)个,至多有一个 至少有一个,一个也没有,至少有两个,如图，在ABC中,若C是直角，那么B一定是锐角.,你能用反证法证明以下命题吗？,延伸拓展,证明：假设结论不成立,则B是_或_.,这与_矛盾；,当B是_时，则_ 这与_矛盾；,综上所述,假设不成立.,B一定是锐角.,直角,钝角,直角,B+ C= 180°,三角形的三个内角和等于180°,钝角,B+ C180°,三角形的三个内角和等于180°,当B是_时，则_,归纳: 宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的 命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。,用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。,
