高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题六 利用空间向量求空间的角---精校解析 Word版

www.ks5u.com专题六利用空间向量求空间的角I题源探究·黄金母题【例1】已知和所在的平面互相垂直，且，求：（1）直线与平面所成角的大小；（2）直线与直线所成角的大小；（3）二面角的余弦值【解析】（1）设，作于点，连接以点为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向建立坐标系，得下列坐标：，.，. 与平面所成角等于（2），所以，与所成角等于.（3）设平面的法向量为，则，.解得 ，显然为平面的法向量. ，.因此，二面角的余弦II考场精彩·真题回放【例2】【2016浙江高考】如图，已知平面四边形ABCD，CD=1，沿直线AC将ACD翻折成ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是_【答案】【解析】设直线与所成角为设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，作于，翻折过程中，始终与垂直， ，则，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以，所以时，取最大值【例3】【2016全国新课标卷】如图，四棱锥中，地面，为线段上一点，为的中点（）证明平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）取的中点，连结，由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.【例4】【2016全国新课标卷】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【解析】（）由已知得，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， ，因此二面角的正弦值是精彩解读【试题来源】人教版A版选修21第112页习题3.2A组第6题【母题评析】本题集异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角为一体的综合题，解答时通过建立空间直角坐标，利用空间向量的坐标运算来求解这三个角此题主要考查空间向量的应用、运算求解能力、转化能力【思路方法】求异面直线所成角可通过求两条异面直线的方向向量的夹角来完成；求直线与平面所成的角可通过求斜线的方向向量与平面的法向量的夹角来完成；二面角可通过求两个平面的法向量的夹角来完成【命题意图】本类题主要考查利用向量求异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成角，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用【考试方向】异面直线所成角在选择题与填空题中考查较多，在解答题中较少，而直线与平面所成角、二面角在选择题与填空题中考查较少，在解答题中考查考多【难点中心】利用空间向量求空间角的难点主要表现在：（1）求平面的法向量是一个难点，主要体现为运算时较大；（2）处理空间角与所涉及到向量夹角关系时，可能存在理不清关系III理论基础·解题原理考点一异面直线所成角用向量法求异面直线所成角，设两异面直线、的方向向量分别为和，如图所示，异面直线所成角：只需分别在上取定方向向量，则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角，即考点二直线与平面所成角1直线与平面所成的角（范围：）在上取定方向向量，是平面的法向量，则直线和平面所成的角等于向量，所成角的余角或补角的余角，即考点三二面角平面和所成二面角：设，分别为平面和的法向量，则平面和所成二面角等于两个法向量的夹角或补角可由求得的值，再观察二面角，若是锐二面角，则二面角；若二面角为钝二面角，则二面角 IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】异面直线所成角在选择题与填空题中考查较多，在解答题中较少，而直线与平面所成角、二面角在选择题与填空题中考查较少，在解答题中考查考多【技能方法】1注意利用空间向量求空间角几点提醒：（1）建系问题：不是所有的立体几何问题都可以直接建系的，条件中具备三垂直可直接建系，没有则需证明后才能建系；（2）注意要将几何问题向量化，向量的结论还原为几何结论；（3）利用向量运算解决空间角问题，在解决线面角和二面角时容易出现错误，要多加注意；2掌握空间直角坐标建立的途径：（1）利用共顶点的互相垂直的三个不共面的直线构建直角坐标系；（2）利用线面垂直关系构建直角坐标系；（3）利用平面与平面垂直的位置关系构建空间直角坐标系；（4）利用正多边形的中心与几何体高所在直线构建直角坐标系【易错指导】（1）忽视异面直线所成角的范围，易错误认为两条异面直线的方向向量夹角为异面直线所成角；（2）错误认为斜线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦就是斜线与平面所成角；（3）忽视二面角的取值范围，易错误认为两个平面的法向量就是所求二面角的大小V举一反三·触类旁通考向1异面直线所成角【例5】【2016安徽安庆市三模】如图，已知空间四边形在平面上的射影是梯形，又平面与平面所成的二面角的大小为（1）求异面直线与所成角的大小；（2）设直线交平面于点，求比值【解析】（1）如图，以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系因为平面，所以，所以就是平面与平面所成的二面角的平面角，所以，从而令，则，所以，所以故异面直线与所成角的大小为 【解法指导】求异面直线所成角主要两种方法：（1）利用定义法，即通过作出异面直线所成角，通过解三角形来求解；（2）利用向量求异面直线所成角：求出表示两条异面直线的向量，则这两个向量的夹角就是两条异面直线所成的角(或补角).【跟踪练习】【2016海南海南中学考前模拟】如图，四面体中，是的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【解析】（1）证明：连接.由，,知.在中，则.又，因此平面.又平面，所以平面平面.考向2直线与平面所成角【例6】【2016温州市第二次适应性】如图，平面平面，其中为矩形，为直角三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，又，平面而平面，平面平面（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，则，于是，设为平面的法向量，由得，取设与的夹角为，所以所以与平面所成的角的正弦值为【方法点睛】利用向量求斜线与平面所成的角有两条途径：(1)作出斜线与平面所成的角，再利用向量求解：(2)求斜线的方向向量与该平面的法向量所成的角，再利用“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角(补角)的互余”的关系求出斜线与平面所成的角【跟踪练习】【2017湖北黄石市9月调研】如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小（2）因为底面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，则，因此直线与平面所成角的大小为考向3平面与平面所成角【例7】【2016陕西黄陵中学高三下二模】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.（）求证：平面；（）求平面与平面夹角的余弦值.【解析】（）连接和交于，连接，为正方形，为中点，为中点，平面，平面，平面（）解：平面，平面，为正方形，平面，平面，平面，以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，则，平面，平面，为正方形，由为正方形可得：，设平面的法向量为，由，令， 设平面的法向量为，由，令，设二面角的平面角的大小为，则，二面角的平面角的余弦值为 【思路点睛】利用向量求平面与平面所成的二面角主要有两条途径：(1)作出二面角的平面角，再利用向量求解：(2)通过求两平面的法向量所夹的角(它与面面夹角相等或互补)【跟踪练习】【2017河南息县一中高三上段测】如图，已知等边中，分别为边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面（）求证：平面平面；（II）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（I）知平面，又平面，所以,如图建立空间直角坐标系，则,.设平面的一个法向量为，则由得令，则.平面的一个法向量为，所以，显然二面角是锐角，所以二面角的余弦值为考向4空间角综合题【例8】【2017江苏南京市上期学情调研】如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧棱底面，点是线段的中点（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点在线段上，使得二面角的正弦值为，求的值【解析】（1）在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，所以两两垂直，故以为正交基底，建立空间直角坐标系因为，所以，不妨设，则因为是的中点，所以，所以，所以，从而，因此异面直线与所成角的大小为（2）由（1）可知，设，则，从而设为平面的一个法向量，则即取，则，所以为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，则即取，则，所以为平面的一个法向量因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦的绝对值为，即，所以，化简得，因为点在线段上，所以，所以，即【名师点睛】涉及空间角的考查通常以理科多常见，主要要求考生会利用空间向量来解决，因此在备考中要重视这方面训练【跟踪练习】【2016江苏泰州中学下期二次质检】如图，在正四棱柱中，（1）若，求与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求的值【解析】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，（2） 由得，设平面的法向量，则由得，不妨取，则，此时，又平面的法向量，故，解得- 17 -