高考专题黄金100题解读与扩展系列:专题六 利用空间向量求空间的角---精校解析 Word版
17页1、专题六利用空间向量求空间的角I题源探究黄金母题【例1】已知和所在的平面互相垂直,且,求:(1)直线与平面所成角的大小;(2)直线与直线所成角的大小;(3)二面角的余弦值【解析】(1)设,作于点,连接以点为原点,的方向分别为轴、轴、轴正方向建立坐标系,得下列坐标:,.,. 与平面所成角等于(2),所以,与所成角等于.(3)设平面的法向量为,则,.解得 ,显然为平面的法向量. ,.因此,二面角的余弦II考场精彩真题回放【例2】【2016浙江高考】如图,已知平面四边形ABCD,CD=1,沿直线AC将ACD翻折成ACD,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_【答案】【解析】设直线与所成角为设是中点,由已知得,如图,以为轴,为轴,过与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,由,作于,翻折过程中,始终与垂直, ,则,因此可设,则,与平行的单位向量为,所以,所以时,取最大值【例3】【2016全国新课标卷】如图,四棱锥中,地面,为线段上一点,为的中点()证明平面;()求直线与平面所成角的正弦值.【解析】()由已知得,取的中点,连接,由为中点知,.又,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是.因为平面,平
2、面,所以平面.()取的中点,连结,由得,从而,且.以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知,.设为平面的法向量,则,即,可取,于是.【例4】【2016全国新课标卷】如图,菱形的对角线与交于点,点分别在上,交于点将沿折到位置,()证明:平面;()求二面角的正弦值【解析】()由已知得,又由得,故.因此,从而.由,得.由得.所以,.于是,故.又,而,所以.()如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.于是, ,因此二面角的正弦值是精彩解读【试题来源】人教版A版选修21第112页习题3.2A组第6题【母题评析】本题集异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角为一体的综合题,解答时通过建立空间直角坐标,利用空间向量的坐标运算来求解这三个角此题主要考查空间向量的应用、运算求解能力、转化能力【思路方法】求异面直线所成角可通过求两条异面直线的方向向量的夹角来完成;求直线与平面所成的角可通过求斜线的方向向量与平面的法向量的夹角来完成;二面角可通过求两个平面的法向量的夹角来完成【
3、命题意图】本类题主要考查利用向量求异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成角,以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用【考试方向】异面直线所成角在选择题与填空题中考查较多,在解答题中较少,而直线与平面所成角、二面角在选择题与填空题中考查较少,在解答题中考查考多【难点中心】利用空间向量求空间角的难点主要表现在:(1)求平面的法向量是一个难点,主要体现为运算时较大;(2)处理空间角与所涉及到向量夹角关系时,可能存在理不清关系III理论基础解题原理考点一异面直线所成角用向量法求异面直线所成角,设两异面直线、的方向向量分别为和,如图所示,异面直线所成角:只需分别在上取定方向向量,则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角,即考点二直线与平面所成角1直线与平面所成的角(范围:)在上取定方向向量,是平面的法向量,则直线和平面所成的角等于向量,所成角的余角或补角的余角,即考点三二面角平面和所成二面角:设,分别为平面和的法向量,则平面和所成二面角等于两个法向量的夹角或补角可由求得的值,再观察二面角,若是锐二面角,则二面角;若二面角为钝二面角,则二面角 IV题型攻略深度挖
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