高考专题二次函数-精品之高中数学（文）黄金100题--- 精校解析Word版

第14题二次函数I题源探究·黄金母题【例1】已知函数=，=（）（1） 求，的单调区间；（2） 求，的最小值【解析】（1）由题知，=，=，当1时，0，当1时，0，当时，0，的单调减区间为，单调增区间为（1，+）；的单调增区间为2，4（2）由（1）知，当时，=-1；当=2时，=0精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第39页B组第1题【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题，故本题是一个典型的二次函数问题【思路方法】二次函数问题，常常借助其图象研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域，借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题II考场精彩·真题回放【例1】【2017高考山东文数】已知命题p：；命题q：若，则a<b下列命题为真命题的是A B C D【答案】B【解析】由时成立知p是真命题，由可知q是假命题，是真命题，故选B【例2】【2017浙江卷】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M m（）A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，最值之差一定与无关，选B【例3】【2016高考新课标II】已知函数f(x)（xR）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图象的交点为（x1，y1），(x2，y2)，（xm，ym），则（）(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m【答案】B【解析】都关于对称，它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，故选B【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单调性及最值【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质等数学知识结合，难度为容易题题、中档题、也有有难题【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问题，通常用换元法，转化为一元二次函数或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函数的最值问题，注意分类讨论结合图象处理III理论基础·解题原理考点一二次函数的概念与表示1概念：形如：函数叫二次函数；2表达形式有：（1）一般式：（2）顶点式：若为抛物线的顶点坐标，（3）截距式：设为抛物线与轴交点的横坐标，则考点二二次函数图象与性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(，)(，)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递减；在上单调递增对称性函数的图象关于x对称考点三二次函数图象与性质的应用 1一元二次方程的实根分布，是一元二次方程=0的根，设=根的分布充要条件充要条件1充要条件2，(，+)且，(-，)且对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与分段函数、复合函、方程、不等式等数学知识结合考查函数的值域、零点个数或方程解得个数，难度为中档或中档以上【技能方法】解决此类问题通过分类整合结合化为分段函数，结合函数图象与性质解题，转化化归思想、分类整合思想、数形结合思想是解题的法宝【易错指导】（1）对二次项系数含参数的问题，要分二次项系数大于0小于0两类，结合对应图象处理；（2）对可化为含参数的二次函数在某个区间上的最值问题，要根据对称轴在区间左、中、右分类结合图象求解；（3）在用换元法化为二次函数或二次方程问题时，注意新变量的取值范围（4）对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值V举一反三·触类旁通考向1二次函数概念与表示【例1】【福建三明一中模拟】如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论:；当时，；当秒时，；当的面积为时，时间的值是或；其中正确的结论是（）ABCD【答案】D【解析】根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒，BC=BE=10，AD=BC=10又从M到N的变化是4，ED=4，AE=ADED=104=6ADBC，EBQ=AEB，故错误；如图1，过点P作PFBC于点F，ADBC，EBQ=AEB，PF=PBsinEBQ=t，当0<t5时，故正确，如图3，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处在ABE与PQB中，AE=BP，EBQ=AEB，BE=BC，ABEPQB(SAS)故正确；如图4，当时，点P在CD上，A=Q=90°，ABEQBP，故正确由知，当y=4时，从而，故错误故选D【例2】【2017江西上饶一模】已知正方形的面积为2，点在边上，则的最小值为（）ABCD【答案】B点睛：平面几何中有关于向量的运算常用到的几何法和坐标法两种方法，几何法在应用时主要是借助于向量的平行四边形法则与三角形法则实现向量的转化进而结合平面几何图形的性质求解，坐标法的应用首先要建立合适的坐标系，确定相关点的坐标，进而将所求的向量转化为数量问题求解，如本题中的向量的数量积转化为二次函数求最小值问题【跟踪练习】1加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、是常数），下图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A分钟 B分钟 C分钟 D分钟【答案】B2【2018江苏省南通模拟】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用待定系数法依题意可设，根据该函数为偶函数可得，根据导函数的图象过点，可得；（2）由（1）可得：根据二次函数的性质分为，和三种情形判断其单调性得其最值试题解析：（1）因为二次函数经过原点，可设，又因为为偶函数，所以对任意实数，都有，即，所以对任意实数都成立，故所以，又因为导函数的图象过点，所以，解得所以（2）据题意，即若，即，当时，故在上单调递减；当时，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为若，即，当时，故在上单调递减；当时，故在上单调递增，故的最小值为若，即，当时，故在上单调递减，在上单调递增；当时，故在上单调递增，故的最小值为综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为考向2二次函数图象与性质（奇偶性、单调性、对称性等）【例3】【2018山西45校第一次联考】函数 (且)与函数在同一坐标系内的图象可能是（）A B C D【答案】A【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除【例4】【2017河北武邑中学二模】已知函数f(x)=12mcos2x+(m-2)sinx，其中若函数f(x)的最大值记为g(m)，则g(m)的最小值为（）A-14 B1 C3-3 D3-1【答案】D【解析】f(x)=-msin2x+(m-2)sinx+12m，设，即f(u)=-mu2+(m-2)u+m2=-m(u-m-22m)2+(m-2)24m+m2，-m<0对称轴，所以函数的最大值是g(m)=(m-2)24m+m2=34m+1m-1，(m>0)，g'(m)=34-1m2=0，解得m=233，当m1,233时g'(m)<0，当时，g'(m)>0，所以当m=233时函数取得最小值，所以最小值是g(233)=3-1，故选D【例5】【2018江苏如皋联考】已知函数，则函数的最大值是_【答案】【解析】由二次函数的对称轴方程为且图象开口向上知，当时函数有最大值，故填【例6】【2017天津十二重点中学联考】若函数是偶函数，则的最小值为（）A B C D【答案】C【解析】由已知，为偶函数，则，解得，即，时，故选C【跟踪练习】1【2017山东日照二模】函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（）A BC D【答案】D2已知是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的集合为（）A B C D【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，由解得或；由解得，函数的零点的集合为，故选D3已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为【答案】【解析】据题意解得4【2016高考浙江卷】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A当时，的最小值为，“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，“的最小值与的最小值相等”不能推出“”故选A5【2016高考山东卷】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_【答案】【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图象在深蓝色图象的下方，即，解得考向3 与二次函数有关的零点及方程个数问题【例7】【2017安徽合肥一模】已知函数，方程有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是（）A B C(6,11) D(3,11)【答案】D【例8】【2017重庆巴蜀中学模拟