高考第94题 不等式选讲-高中数学（文）---精校解析 Word版

第94题 不等式选讲I题源探究·黄金母题【例1】（1）设，则下列不等式恒成立的是（ ）A BC D（2）的解集为（ ）A BC D（3）的最小值为 【答案】（1）C；（2）A；（3）1【解析】（1），故选C（2）很明显，则不等式，解不等式组可得实数的取值范围是：，故选A（3）由绝对值三角不等式可得【例2】（1）要证明，可选择的方法有多种，其中最合理的是 （ ）A综合法 B类比法 C分析法 D归纳法（2）设都是正数，则三个数 （ ）A都大于2 B至少有一个不小于2 C至少有一个大于2 D至少有一个不大于2（3）已知，则使不等式一定成立的条件是（ ）A B C D【答案】（1）C；（2）B；（3）D【解析】（1）要证，只需证，只需证，只需证，只需证，故选用分析法最合理，故选C（2）都是正数，当且仅当时取等号，故至少有一个不小于2，故选B（3），故选D精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修4-5P19-20习题12T4，5，6改编；例2：人教A版选修4-5P26习题22T3，4，5改编【母题评析】这类题主要考查绝对值不等式的解法与证明、含参数的不等式恒成立问题等，考查考生的分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想【思路方法】1绝对值不等式的解法主要有以下三种：分段讨论法；几何法；图象法2求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即；(3)利用零点分区间法II考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标I文23】已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围【解析】试题分析：（1）利用零点分段法把含绝对值不等式问题转化为不含绝对值符号的不等式组问题来求解将代入，不等式等价于，对按，讨论得解；（2）当时，若的解集包含，等价于当时则在的最小值必为与之一，所以且，得所以的取值范围为试题解析：（1）当时，不等式当时，式化为，无解；当时，式化为，从而；当时，式化为，从而所以的解集为（2）当时，所以的解集包含，等价于当时又在的最小值必为与之一，所以且，得所以的取值范围为【例2】【2017高考新课标II文23】已知证明：（1）；（2）【解析】（1）（2），【例3】【2017高考新课标III文23】已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）利用题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是试题解析：（1）当时，无解；当时，由得，解得；当时，由解得所以的解集为（2）由得，而且当时，故的取值范围为【例4】【2017高考江苏】已知为实数，且证明【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得，即，故【命题意图】这类题主要考查绝对值不等式的解法与证明、含参数的不等式恒成立问题等，考查考生的分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想【考试方向】这类试题在考查题型上，解答题的形式出现，难度中等偏易【难点中心】1零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图像解题2解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法3不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决III理论基础·解题原理1绝对值三角不等式定理1：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立定理2：如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立2基本不等式定理1：设，则，当且仅当时，等号成立定理2：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立定理3：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果为个正数，则，当且仅当时，等号成立IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等偏易【技能方法】1绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式与的解集不等式或且（2）和型不等式的解法；或2不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等【易错指导】数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由时不等式成立推证时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向V举一反三·触类旁通考向1 含绝对值不等式的解法1用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值2用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法【例1】解下列不等式：（1）；（2）解法二：原不等式或或，解得，所以原不等式的解集为（2）当时，原不等式化为，解得，当时，原不等式化为，解得当时，原不等式化为，解得综上可知，原不等式的解集为【名师点睛】1去绝对值符号的常用方法（1）基本性质法：或；（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号；（3）零点分段法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解2形如（或）绝对值不等式的三种解法解法一：分段讨论法，又称“零点分段法”，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（此处设）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；体现了分类讨论的思想；解法二：几何法，利用（或）的几何意义：数轴上到点和的距离之和大于的全体（）；体现了数形结合的思想；解法三：图象法，作出函数和的图象，结合图象求解，体现了函数与方程的思想3六类绝对值不等式的解法（1）(aR)型：或（等价命题法）；（2）型：；（3）型：或；（4）型：或；（5）型：无解；（6）型：；或【例2】【2018四川资阳高三4月模拟考试（三诊）】已知函数（1）解不等式；（2）若正实数a，b满足，试比较与的大小，并说明理由【答案】(1)x| x3或x1；(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得最大值，再根据基本不等式可得最小值，最后根据两者关系确定大小关系（2）因为，当且仅当时，取“=”，所以，即又 当且仅当时取等号所以点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向【例3】【2018贵州省普高等学校招生适应性考试】已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，任意的恒有，求实数的取值范围【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)对x分类讨论，转化为三个不等式组，分别求解，最后取并集即可；（2），故试题解析：（1），即，则，或，或，所以的解集为（2），又，当且仅当时等号成立，所以点睛：1研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法2f(x)a恒成立f(x)maxa f(x)>a恒成立f(x)mina【跟踪练习】1解不等式：所以原不等式的解集是2已知函数（1）证明：；（2）求不等式的解集【解】（1）证明：当时，（2）由（1）可知，当时，即为，解集为空集；当时，即为，解集为；当时，即为，解集为综上，不等式的解集为3【2018贵州凯里市第一中学高三下学期黄金卷第三套】设函数，其中（）求不等式的解集；（）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围【答案】(1) ；(2) 试题解析：（I）不等式 ，则，解得：或，即所以不等式的解集为（II）设的值域为，的值域为对任意，都存在，使得等价于：而当时，不满足题意；当时，由得，得，不满足题意；当时，由得，得，满足题意；综上所述，实数的取值范围是：考向2 含绝对值不等式的证明证明绝对值不等式的三种主要方法：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明（2）利用三角不等式进行证明（3）转化为函数问题，利用数形结合进行证明【例4】已知，且，求证：【证明】由绝对值不等式的性质，得，即【名师点睛】（1）对绝对值三角不等式定理（定理1），（定理2）中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时（2）该定理可强化为，它经常用于证明含绝对值的不等式【例5】【2018重庆市高三第二次质量调研】已知函数（）当时，解不等式；（）设为正实数，且，其中为函数的最大值，求证：【答案】（1）（2）见解析试题解析：（1）时， ，所以或或，所以解集为（）由绝对值不等式得，所以最大值，当且仅当时等号成立【例6】【2018宁夏银川一中高三二模】已知函数(1)若的解集非空，求实数的取值范围；(2)若正数满足，为（1）中m可取到的最大值，求证：【答案】(1) ；(2)见解析试题解析：（1）去绝对值符号，可得所以，所以，解得，所以实数的取值范围为（2）由（1）知，所以因为，所以要证，只需证，即证，即证因为，所以只需证，因为，成立，所以解法二：x2+y2=2，x、yR+，x+y2xy ，设：证明：x+y-2xy= = 令， ，原式= 当时， 【跟踪练习】1已知函数（1）求的值域；（2）若，试证明：根据函数的单调性可知，当时，的值域（2）又，2【2018甘肃张掖市高三备考质量检测第三次诊断考试】已知，且（1）若恒成立，求的取值范围；（2）证明：【答案】(1) ；(2)证明见解析（2）由题意结合均值不等式的结论可得，即题中的不等式成立试题解析：（1）设由，得，故 ，当且仅当时等号成立，所以当时，得；当时，解得，故；当时，解得，故