高考第93题 坐标系与参数方程-高中数学（文）---精校解析 Word版

第93题 坐标系与参数方程I题源探究·黄金母题【例1】（1）在同一平面直角坐标系中，直线经过伸缩变换后，变成直线 ；（2）在极坐标系中，已知两点，则线段的长度为 ；（3）直角坐标方程的极坐标方程为 ；（4）极坐标方程的直角坐标方程为 ；（5）在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为 【答案】（1）；（2）6；（3）；（4）；（5）【解析】（1）由已知得代入得，即所求的直线方程为（2）把的极坐标化为直角坐标即，由两点间距离公式得（3）把代入，得（4），把，代入化简得所求的直角坐标方程为（5）如图，在圆上任取一点，则在中，【例2】（1）曲线(为参数)的对称中心 （ ）A在直线上 B在直线上C在直线上 D在直线（2）极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是 （ ）A直线、直线 B圆、圆 C直线、圆 D圆、直线（3）曲线的长度是（ ）A B C D【答案】（1）B；（2）D；（3）A【解析】（1）由得曲线是以为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为，在直线上（2）由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线，故选D（3）消去参数得，它表示圆心角为的一段弧，弧长为，故选A精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修4-4P15习题12T2，3，4改编；例2：人教A版选修4-4P39习题23T1改编【母题评析】这类题主要考查直线与圆的极坐标方程、直线与椭圆的参数方程等，考查考生的分析问题解决问题、转化与化归以及基本计算能力【思路方法】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式，(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧II考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标I文22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求【解析】试题分析：（1）先将曲线和直线化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线的普通方程为，设上的点，的距离为对a进行讨论当和当时，求出的值试题解析：（1）曲线的普通方程为当时，直线的普通方程为由解得或从而与的交点坐标为，（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为当时，的最大值为由题设得，所以；当时，的最大值为由题设得，所以综上，或【例2】【2017高考新课标II文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设出的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程；（2）利用（1）中的结论，设出的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值试题解析：（1）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知由得的极坐标方程，因此的直角坐标方程为（2）设点B的极坐标为，由题设知，于是的面积当时，S取得最大值，所以面积的最大值为【例3】【2017高考新课标III文22】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径【答案】（1） ；（2）【解析】试题分析：（1）利用题意首先得到曲线 的参数方程，然后消去参数即可得到曲线 的普通方程；（2）联立两个极坐标方程可得，代入极坐标方程进行计算可得极径的值为 试题解析：（1）消去参数 得 的普通方程；消去参数m得l2的普通方程设，由题设得，消去k得所以C的普通方程为（2）C的极坐标方程为联立得故，从而代入得，所以交点M的极径为【例4】【2017高考江苏】在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值【答案】【解析】解：直线的普通方程为在曲线上，设，则点到直线的的距离，易知当时，因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值【命题意图】这类题主要考查直线与圆的极坐标方程、直线与椭圆的参数方程等，考查考生的分析问题解决问题、转化与化归以及基本计算能力【考试方向】这类试题在考查题型上，解答题的形式出现，难度中等偏易【难点中心】1直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式：，；2由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解3化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决4把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中及的取值范围的影响III理论基础·解题原理1平面直角坐标系中的伸缩变换设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为有序数对叫做点的极坐标，记为注：极坐标与表示同一个点极点的坐标为若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一点如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(，)或（，），(Z)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0或<0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：rqqrcos=xqrsin=y222r=+yx)0(tan¹=xxyqïïîïïíìïïîïïíìyyxOMHN（直极互化图）4常见曲线的极坐标方程曲 线图 形极坐标方程过极点，倾斜角为的直线（1）和（2）和过点，与极轴垂直的直线过点，与极轴平行的直线过点，倾斜角为的直线圆心为极点，半径为的圆圆心为，半径为的圆圆心为，半径为的圆5参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程6常见曲线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程（为参数）设是直线上的任意一点，则表示有向线段的数量参数的几何意义是有向线段的数量（2）圆的参数方程为（为参数）；（3）椭圆的参数方程为（为参数）；椭圆的参数方程为（为参数）；（4）双曲线的参数方程（为参数）；双曲线的参数方程（为参数）；（5）抛物线参数方程为参数，）；参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数6参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过根据t的取值范围导出的取值范围IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等偏易【技能方法】1利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长的计算，有时比较方便方法是：把：代入圆锥曲线：，即可消去；而得到关于的一元二次方程：当时，与无交点；当时，与有一公共点；当时，与有两个公共点；此时方程有两个不同的实根，把参数代入的参数方程，即可求得与的两个交点的坐标；另外，由参数的几何意义，可知弦长2化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法3化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或），再代入普通方程，求得另一关系（或）一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)【易错指导】1直角坐标化为极坐标时的两个注意点（1）根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性，故点的极坐标的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定时，除极点外，点的极坐标是唯一的（2）当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角的值2在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过根据t的取值范围导出的取值范围V举一反三·触类旁通考向1 极坐标与直角坐标的互化曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以等有些时候，如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用，即可【例1】（1）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，求点到直线的距离；（2）已知圆的极坐标方程为，求圆的半径【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，得由点的极坐标得点的直角坐标为点到直线的距离（2）以极坐标系的极点为直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系圆的极坐标方程为，化简得，圆的直角坐标方程为，即，圆的半径