高考第95题 推理问题的常见求解策略-高中数学（理）---精校解析 Word版

第95题 推理问题的常见求解策略I题源探究·黄金母题【例1】对于任意正整数与的大小关系为 （ ）A当时， B当时，C当时， D当时，【答案】D【解析】经过计算可得如下表格123456149162536248163264从而可得，当时，故选D【例2】在数列中，则数列的通项公式为 【答案】（2）假设当时猜想成立，则，当时猜想也成立综合（1）（2）对猜想都成立，故应填【例3】设P是内一点，三边上的高分别为、，P到三边的距离依次为，则有 ；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是、，P到这四个面的距离依次是，则有 【答案】【例4】如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点(1) 求证：；(2) 在任意中有余弦定理：拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明【答案】【解析】（1）证：由题意知，且平面，平面（2）在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角证明：平面上述的二面角为，在中，其中为平面与平面所组成的二面角精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-2习题31P55A组T5改编；例2：人教A版选修2-2P84习题21A组T3改编；例3：人教A版选修2-2P78练习T3改编；例4：人教A版选修2-2P82阅读与思考改编【母题评析】主要考查合情推理和演绎推理，突出考查推理能力【思路方法】合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）II考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标2理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【答案】DD【例2】【2017高考北京文14】某学习小组由学生和&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（1）男学生人数多于女学生人数；（2）女学生人数多于教师人数；（3）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_【答案】6，12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 第一小问：；第二小问：【命题意图】这类题以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题，注重考查学生的分析问题、解决问题以及推理能力【考试方向】这类试题在考查题型上，若为选择题或填空题，则难度中等偏易；若为解答题，主要是演绎推理，难度较大【难点中心】1归纳推理的思维过程可概括为：；2类比推理的思维过程可概括为：；3演绎推理的格式为：MP（M是P）；SM（S是M）；SP（S是P）III理论基础·解题原理1归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；（3）证明（视题目要求，可有可无）2类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理4演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理的一般模式“三段论”，包括：M·a S（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情况；（3）结论据一般原理，对特殊情况做出的判断用集合的观点来理解：若集合中的所有元素都具有性质，是的一个子集，那么中所有元素也都具有性质从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】合情推理通（归纳推理和类比推理）常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，而演绎推理常以解答题的形式出现，难度较大【技能方法】合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）（1）归纳推理的思维过程可概括为：；（2）类比推理的思维过程可概括为：；（3）演绎推理的格式为：MP（M是P）；SM（S是M）；SP（S是P）【易错指导】归纳推理、类比推理、演绎推理三种方法的区别：（1）归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法，归纳推理一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（2）类比推理是在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似点后推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式（3）演绎推理是由一般性命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴含的关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，推出的结论必定是真实的，但是错误的前提或推理形式可能导致错误的结论V举一反三·触类旁通考向1 归纳推理1归纳推理的特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为数学证明的工具；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题2归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同本质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题3命题规律：归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，属中高档题高考对归纳推理的考查主要有以下三个命题角度：（1）数表（分群数列）的归纳；（2）式（等式、不等式）的归纳；（3）形的归纳【例1】【2018湖南长沙雅礼中学、河南实验中学高三联考】如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点处标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（ ）A B C D【答案】C【名师点睛】本题考查证明推理的应用首先要观察条件的规律，得到其规律的通项关系本题中的规律是第圈的正方形右上角标签为，坐标为；利用规律，则可以快速得到答案【例2】【2017江西南昌三模】已知若，则（ ）A B C D【答案】C【分析】观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是时，则等号右边的数为，因此，令，则故选C【例3】【2017河北石家庄】老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则（ ）A7 B8 C11 D15【答案】C【分析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，比三个操作的此时 要多，比四个操作的此时要少，相当于操作三个的时候，最上面的那个移动了几次，就会增加几次，故选C【名师点睛】归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性【例4】【2018四川雅安市高三下学期三诊】观察下列式子：，根据以上式子可以猜想：_【答案】【例5】有一些自然数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数，那么_ 1 2 3 4 8 9 10 11 3 5 7 17 19 21 8 12 36 40 20 76 【答案】【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为，首项为；第二行公差为，首项为；第三行公差为，首项为；第行公差为，首项为当时，“金字数”【跟踪练习】1【2017河南郑州二模】设函数，定义，则的值是（ ）A B C0 D1【答案】A【分析】由题设可得：，显然，即，又，且，故选A2将正偶数，按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（ ）第列第列第列第列第列第行第行