高考第83题 回归定义解决圆锥曲线问题-高中数学（理）---精校解析 Word版

第83题 回归定义解决圆锥曲线问题I题源探究·黄金母题【例1】设是圆上的动点，另有，线段的垂直平分线交直线于点，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程【答案】【解析】设点是线段垂直平分线上的一点，点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，点的轨迹方程为【例2】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点（I）求的周长；（II）如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？【答案】（I）20；（II）没有变化【解析】（I）由已知，当轴时，代入椭圆的方程可得纵坐标分别为，从而的周长为（II）如果不垂直于轴，的周长不变，证明如下：由椭圆的定义可知：，两式相加即得的周长为精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-1P42习题21T7改编例2：人教A版选修2-1P36练习T3【母题评析】这类题考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，考查考生简单的识记及基本计算能力【思路方法】利用圆锥曲线的定义解题II考场精彩·真题回放【例1】【2017高考全国I理10】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为 （ ）A16B14C12D10【答案】A【解析】解法一：设，直线方程为联立方程得，同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取最小值16解法二：如图，设直线的倾斜角为，则，则，所以，当且仅当，即或时，取最小值16【例2】【2017高考全国II理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，由题意有，线段FN的长度：【例3】【2017高考全国I】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60°，则C的离心率为_【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，而，所以，点到直线的距离，在中，代入计算得，即，由得，所以【例4】【2017高考浙江21】如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（）求直线AP斜率的取值范围；（）求的最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围；（）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值试题解析：（）设直线AP的斜率为k，则，直线AP斜率的取值范围是（）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是，令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值【例5】【2017高考天津理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【答案】 （1），（2），或【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程试题解析：（）设的坐标为依题意，解得，于是所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为（）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去，整理得，解得，或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故所以又因为的面积为，故，整理得，解得，所以所以，直线的方程为，或【例6】【2017高考江苏17】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标F1 O F2xy(第17题)【答案】（1）；（2）【解析】（1）设椭圆的半焦距为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，联立得，故椭圆E的标准方程为（2）解法一：由（1）知从而直线的方程： 直线的方程： 由，解得，点在椭圆上，由对称性，得，即或因此点P的坐标为解法二：设，则，由题意得，整理得，点在椭圆上，故点的坐标是解法三（参数方程）：设，则直线方程分别为联立解得又在椭圆上，整理得又，点的坐标是解法四（秒杀技）：由已知得，故这四个点共圆若四点共圆，则圆以为直径，方程为，但它与椭圆无交点，故应该是四点共圆（即在以为直径的圆上），从而关于轴对称设，则，且是圆与椭圆的交点，又在此圆上，解得（注意：）【命题意图】这类题主要考查圆锥曲线的定义及简单的几何性质这类题能较好的考查考生逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题，也可以是解答题第（1）小题，难度中等偏易【难点中心】1抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化2双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐做好这一类问题要抓住以下重点：求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是；双曲线的顶点到渐近线的距离是III理论基础·解题原理1椭圆的定义：2双曲线的定义：3抛物线的定义：（为焦点，为动点到准线的距离）IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，也可以是解答题的第（1）小题，难度中等偏易【技能方法】1根据抛物线的定义，实现抛物线上的点到焦点与到准线的距离相互转化，从而解决问题；2利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决最值问题【易错指导】1利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线之间的共性和个性2利用圆锥曲线的定义解题时，涉及圆锥曲线上的点与两个焦点的问题，常用第一定义；涉及焦点与准线的问题，常用统一定义要加强数形结合、化归思想的应用，以便得到最佳解题途径V举一反三·触类旁通考向1 利用定义求圆锥曲线几何量问题（焦点三角形面积、焦点弦三角形周长、离心率等）【例1】【2018云南昆明高三教学质量检查（二统）】已知，是椭圆的两个焦点，过原点的直线交于两点，且，则的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】，连接，由椭圆的对称性可知，是矩形，设，则，可知，由勾股定理可知，故选D【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解本题是利用双曲线的几何性质以及双曲线的定义根据方法求解的【例2】【2018甘肃张掖高三备考质量检测第一次考试】设是椭圆的两个焦点，点是椭圆与圆的一个交点，则 （ ）A B C D【答案】C【例3】【2018河北石家庄高三下学期一模】已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）A1 B C2 D【答案】D【解析】设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则 由即 得 即，记 的横坐标为，则，于是，得同理内心 的横坐标也为 则有轴，设直线的倾斜角为，则 则，故选D【跟踪练习】1【2018湖南郴州高三第二次教学质量检测】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是A B C D （ ）【答案】A【解析】【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于的不等式，最后解出的范围2【2018安徽淮南二中、宿城一中高三第四次考试】已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）A B C D【答案】B当三点共线时取到，故l=2|AF|+2a=，故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题3【2018江西上饶高三下学期第二次高考模拟】已知点分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则实数的值为A3 B2 C D （ ）【答案】A【解析】由得，解得，故选A考向2 利用定义判定某些位置关系【例4】【2018河南商丘九校高三模拟】设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D以上均有可能【答案】B点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题【例5】【2018山西太原十二高三上学期1月月考】如图，两条距离为的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得 或7，又，故，设直线 的方程为，则直线的方程为则 设 则 令，令