高考第83题 回归定义解决圆锥曲线问题-高中数学(理)---精校解析 Word版
31页1、第83题 回归定义解决圆锥曲线问题I题源探究黄金母题【例1】设是圆上的动点,另有,线段的垂直平分线交直线于点,当点在圆上运动时,求点的轨迹方程【答案】【解析】设点是线段垂直平分线上的一点,点的轨迹是以点为焦点的椭圆,且,点的轨迹方程为【例2】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点(I)求的周长;(II)如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么?【答案】(I)20;(II)没有变化【解析】(I)由已知,当轴时,代入椭圆的方程可得纵坐标分别为,从而的周长为(II)如果不垂直于轴,的周长不变,证明如下:由椭圆的定义可知:,两式相加即得的周长为精彩解读【试题来源】例1:人教A版选修2-1P42习题21T7改编例2:人教A版选修2-1P36练习T3【母题评析】这类题考查椭圆、双曲线、抛物线的定义,考查考生简单的识记及基本计算能力【思路方法】利用圆锥曲线的定义解题II考场精彩真题回放【例1】【2017高考全国I理10】已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的最小值为 ( )A16B14C12D10【答案】A【解析】解法一:设,直线
2、方程为联立方程得,同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知,当且仅当(或)时,取最小值16解法二:如图,设直线的倾斜角为,则,则,所以,当且仅当,即或时,取最小值16【例2】【2017高考全国II理16】已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点若为的中点,则 【答案】6【解析】如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,做与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,由题意有,线段FN的长度:【例3】【2017高考全国I】已知双曲线C:(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60,则C的离心率为_【答案】【解析】如图所示,作,因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,则为双曲线的渐近线上的点,且,而,所以,点到直线的距离,在中,代入计算得,即,由得,所以【例4】【2017高考浙江21】如图,已知抛物线,点A,抛物线上的点过点B作直线AP的垂线,垂足为Q()求直线AP斜率的取值范围;()求的最大值【答案】();()【解析】试题分析:()由两点求斜率公式
3、可得AP的斜率为,由,得AP斜率的取值范围;()联立直线AP与BQ的方程,得Q的横坐标,进而表达与的长度,通过函数求解的最大值试题解析:()设直线AP的斜率为k,则,直线AP斜率的取值范围是()联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是,令,因为,所以 f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当时,取得最大值【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力,通过表达与的长度,通过函数求解的最大值【例5】【2017高考天津理19】设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点若的面积为,求直线的方程【答案】 (1),(2),或【解析】试题分析:由于为抛物线焦点,到抛物线的准线的距离为,则,又椭圆的离心率为,求出,得出椭圆的标准方程和抛物线方程;则,设直线方程为设,解出两点的坐标,把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标,写出 所在直线方程,求出点的坐标,最后根据的面积为解方程求出,得出直线
4、的方程试题解析:()设的坐标为依题意,解得,于是所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为()设直线的方程为,与直线的方程联立,可得点,故将与联立,消去,整理得,解得,或由点异于点,可得点由,可得直线的方程为,令,解得,故所以又因为的面积为,故,整理得,解得,所以所以,直线的方程为,或【例6】【2017高考江苏17】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为8点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标F1 O F2xy(第17题)【答案】(1);(2)【解析】(1)设椭圆的半焦距为椭圆的离心率为,两准线之间的距离为8,联立得,故椭圆E的标准方程为(2)解法一:由(1)知从而直线的方程: 直线的方程: 由,解得,点在椭圆上,由对称性,得,即或因此点P的坐标为解法二:设,则,由题意得,整理得,点在椭圆上,故点的坐标是解法三(参数方程):设,则直线方程分别为联立解得又在椭圆上,整理得又,点的坐标是解法四(秒杀技):由已知得,故这四个点共圆若四点共圆,则圆以为直径,方程为,但它与椭圆无
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