平面向量的线性运算及平面向量的共线问题高中数学（文）黄金100题---精校解析 Word版

第38题 平面向量的线性运算及平面向量的共线问题I题源探究·黄金母题【例1】如图，已知四边形是等腰梯形，分别是的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，求【解析】， 又， ， 所以II考场精彩·真题回放【例2】【2015全国新课标卷】设为所在平面 内一点，则（） A B C D 【答案】A【解析】由题知，故选A【例3】【2014全国1文6】设分别为的三边的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，同理，则【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.【例4】【2015高考新课标2文2】已知点，向量，则向量( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】=（3,1），=(-7,-4)，故选A.【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标，是基础题.【例5】【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且ab，则m=_. 【答案】【解析】：因为ab，所以，解得考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量.【名师点睛】如果a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab的充要条件是x1y2x2y10.【例6】【（2015北京高考卷】在中，点，满足，若，则_；_【答案】【解析】由题意知无论的位置关系如何，对结果都没有任何变化，即结论唯一，不妨设，因此以以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，则，所以【例7】【2014福建文10】设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）【答案】【解析】由已知得，而所以，选.【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.【例8】【2015高考广东卷】设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题：给定向量,总存在向量,使；给定向量和,总存在实数和,使；给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使；给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易知是对的；利用平面向量的基本定理，易知是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以是假命题.综上，选B【例9】【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a|b,则 .【答案】【解析】：由a|b可得 【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A,B,C三点共线等价于与共线.精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题【母题评析】本题中实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中【思路方法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决（2）注意题目中中点与平行的应用【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能力、运算求解能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下【难点中心】（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一个向量利用基底向量表示的目的III理论基础·解题原理考点一平面向量的加减法及几何意义1加法法则及几何意义三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则叫做和的和平行四边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，以为邻边作平行四边形，则为向量和的和多个向量和的多边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则为向量的和2减法法则及几何意义三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则考点二向量的数乘运算及几何意义实数与向量的乘积是一个向量，且当时，与的方向相同；当时，与的方向相反特别地，向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使考点三向量共线定理如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数使【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇【技能方法】（1）将向量表示为另外向量的线性关系，主要是利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）结合平面向量的基本定理来解决；（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决【易错指导】（1）运算平面向量的三角法则时忽视加法运算的“首尾相接”的特点，减法运算时忽视所得差向量的方向是指向被减数的；（2）向量的数乘运算注意实数的符号，即必须注意数乘向量的方向；（3）利用平面向量的基本定理解决相关问题，基底的选择直接决定解题过程的繁杂与简化、决定解题的成功与失败，因此必须重视基底的选择V举一反三·触类旁通III理论基础·解题原理 考向1三角形法则与平行四边形法则的应用【例1】【2018届湖南省四大名校高三3月联考】在平行四边形中, 与交于点是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（）ABCD【答案】C【方法总结】向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，解题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”【跟踪训练】1【石家庄市2018届高三毕业班质检】在中，点在边上，且， 设， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B2【2018吉林省辽源市田家炳高级中学模拟】如图所示，向量在一条直线上，且则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据向量加法的三角形法则得到 化简得到。故答案为：D。3. 【2018银川一中模拟】如图，在直角梯形中，为边上的一点，为中点，则 ()A BC D【答案】C【解析】取的中点，连结，则，所以，于是，故选C 考向2共线定理的应用【例1】【2017山东滨州市二模】在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）ABC1D4【答案】A【例2】【沈阳市2017年高中三年级教学质量监测】已知向量与不共线， ， ，则与共线的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由， 共线，得，即mn1=0，故选：D【跟踪训练】1. 【2015四川文2】设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【答案】B【解析】由向量平行的性质，有24x6，解得x3，选B【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.2【南宁二中、柳州高中2018届高三9月联考】已知是不共线的向量， ， ，且三点共线，则 ( )A. -1 B. -2 C. -2或1 D. -1或2【答案】D 【解析】由于三点共线，故，即解得-1或2.本题选择D选项.3【吉林省东北师范大学附属中学、重庆一中等五校2018届高三1月联考】已知向量， ， ，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C4.【2018河南洛阳市一中二模】在中，是上的点，若，则实数的值为_.【答案】【解析】因为，所以，即，所以又因为三点共线，所以，所以【方法归纳】共线定理描述的是两个向量间数乘关系，即与共线存在唯一，使，将其延伸后可得到三点共线的条件：在平面中三点共线的充要条件是（为平面内任意一点），其中 考向3平面向量线性运算与不等式交汇【例1】【2018衡水金卷】已知的重心为，过任做一直线分别交边于两点，设，则的最小值是_【答案】【跟踪训练】1【安徽淮南市2018届高三一模】已知是的重心，过点作直线与， 交于点，且， ， ，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图 三点共线， 是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故 当且仅当等号成立，故选D2【河北省衡水中学2018届高三月考】若非零向量满足，则下列不等式恒成立的为（ ）A. B. C.