偏微分方程分类与标准型

第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型,§2.1 常微分方程的解(复习) §2.2 二阶线性偏微分方程分类 §2.3 二阶线性偏微分方程简化 §2.4 三类方程的简化形式,§2.1 常微分方程的解(复习),一. 二阶常系数线性方程的标准形式,二. 二阶常系数线性齐次微分方程的解,齐次方程的通解为：,特解为：,(3)有一对共轭复根时,齐次方程的通解为,特征根为：,特解为：,(2)有两个相等的实根时,小结：二阶常系数线性齐次微分方程解,利用了欧拉公式,例: 求下列方程的通解,所以方程的通解为,解得,(2)特征方程为,所以方程的通解为,(3)特征方程为,解得,解 特征方程为,即,特征方程有两个不相等的实数根,所以所求方程的通解为,对上式求导,得,将 、 代入以上二式,得,解此方程组，得,所以所求特解为,(2)对应齐次方程为：,(3)通解结构:,三. 二阶常系数非齐次线性方程,(1)非齐次线性方程通式：,§2. 二阶线性偏微分方程分类,§3. 方程简化,2. 变量替换与方程转型,(1)变量代换：,(2)一般式转为：,系数为：,变量替换是研究偏微分方程的有效手段，适当的变换，可简化方程、易求解。,注：变量替换必须为非奇异变换,非奇异变换：雅克比(Jacobi)行列式在点(x0, y0)不等于零，即：,则：在点(x0, y0)附近变换是可逆的。,3. 方程简化,4. 求特解,5. 特征方程与特征曲线,1.特征方程：,2.解：,3.特征曲线：,例2.1.1 判断偏微分方程类型并化简：,解：,特征方程,特征方程的解：,特征线：,令：,双曲型方程,§4 三类方程的简化形式,方程变为,1.双曲方程型方程：,2.抛物型方程：,3.椭圆型方程：,小结：三种方程的标准型式：,例题1：分类并标准化方程：,解：该方程的,故该方程是抛物型的。,特征方程：,从而得到方程的一族特征线为：,自变量代换,(由于和必须函数无关,所以宜取最简单的函数形式,即=x 或=y),原方程化简后的标准形式为：,特征的解：,例2. 判断偏微分方程类型并化简：,解：,故,故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程,例2(续),，,代入原方程得：,即：,例3. 判断偏微分方程的类型并化简：,解：,特征方程,特征方程的解：,特征线：,令：,双曲型方程,第二章： 复习思考题与作业,一写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特 征根。 二. 简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。 三. 写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。 四. 解释何谓自变量非奇异变换。 五. 简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。 六. 书习题2：1（1）（2）；2（2）（3）；7 七. 课堂练习：P41:2（1）,