偏微分方程分类与标准型
28页1、第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型,2.1 常微分方程的解(复习) 2.2 二阶线性偏微分方程分类 2.3 二阶线性偏微分方程简化 2.4 三类方程的简化形式,2.1 常微分方程的解(复习),一. 二阶常系数线性方程的标准形式,二. 二阶常系数线性齐次微分方程的解,齐次方程的通解为:,特解为:,(3)有一对共轭复根时,齐次方程的通解为,特征根为:,特解为:,(2)有两个相等的实根时,小结:二阶常系数线性齐次微分方程解,利用了欧拉公式,例: 求下列方程的通解,所以方程的通解为,解得,(2)特征方程为,所以方程的通解为,(3)特征方程为,解得,解 特征方程为,即,特征方程有两个不相等的实数根,所以所求方程的通解为,对上式求导,得,将 、 代入以上二式,得,解此方程组,得,所以所求特解为,(2)对应齐次方程为:,(3)通解结构:,三. 二阶常系数非齐次线性方程,(1)非齐次线性方程通式:,2. 二阶线性偏微分方程分类,3. 方程简化,2. 变量替换与方程转型,(1)变量代换:,(2)一般式转为:,系数为:,变量替换是研究偏微分方程的有效手段,适当的变换,可简化方程、易求解。,注:变量替
2、换必须为非奇异变换,非奇异变换:雅克比(Jacobi)行列式在点(x0, y0)不等于零,即:,则:在点(x0, y0)附近变换是可逆的。,3. 方程简化,4. 求特解,5. 特征方程与特征曲线,1.特征方程:,2.解:,3.特征曲线:,例2.1.1 判断偏微分方程类型并化简:,解:,特征方程,特征方程的解:,特征线:,令:,双曲型方程,4 三类方程的简化形式,方程变为,1.双曲方程型方程:,2.抛物型方程:,3.椭圆型方程:,小结:三种方程的标准型式:,例题1:分类并标准化方程:,解:该方程的,故该方程是抛物型的。,特征方程:,从而得到方程的一族特征线为:,自变量代换,(由于和必须函数无关,所以宜取最简单的函数形式,即=x 或=y),原方程化简后的标准形式为:,特征的解:,例2. 判断偏微分方程类型并化简:,解:,故,故该方程为双曲型偏微分方程,其特征方程,例2(续),,,代入原方程得:,即:,例3. 判断偏微分方程的类型并化简:,解:,特征方程,特征方程的解:,特征线:,令:,双曲型方程,第二章: 复习思考题与作业,一写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特 征根。 二. 简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。 三. 写出二阶线性偏微分方程的辨别式及其分类原则。 四. 解释何谓自变量非奇异变换。 五. 简述二阶线性偏微分方程简化的基本步骤。 六. 书习题2:1(1)(2);2(2)(3);7 七. 课堂练习:P41:2(1),
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