届高三数学函数的奇偶性

第三节 函数的奇偶性,1.函数的奇偶性,1.奇偶函数的定义域有何特点？ 提示：由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称. 2.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示：存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零.,2奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”) (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是偶函数； 两个偶函数的和函数、积函数是 ； 一个奇函数，一个偶函数的积函数是 (3)若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.,相同,相反,奇函数,偶函数,奇函数,1设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) Af(x)f(x)是奇函数 Bf(x)|f(x)|是奇函数 Cf(x)f(x)是偶函数 Df(x)f(x)是偶函数 【解析】 令F(x)f(x)f(x)，则F(x)f(x)f(x)，即F(x)F(x)，故D正确 【答案】 D,2对任意实数x，下列函数为奇函数的是( ) Ay2x3 By3x2 Cyln5x Dy|x|cosx 【解析】 A为非奇非偶函数，B、D为偶函数，C为奇函数设yf(x)ln5xxln5， f(x)xln5f(x) 【答案】 C,3对于定义在R上的任何奇函数，均有( ) Af(x)·f(x)0 Bf(x)f(x)0 Cf(x)·f(x)0 Df(x)f(x)0 【解析】 f(x)f(x)， f(x)·f(x)f(x)20. 【答案】 A,4已知函数yf(x)为奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)_. 【解析】 f(x)为奇函数且f(3)f(2)1， f(2)f(3)f(3)f(2)1 【答案】 1,5下面四个命题： 偶函数的图象一定与y轴相交； 奇函数的图象一定通过原点； 偶函数的图象关于y轴对称； 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中正确的命题序号为_ 【解析】 当yf(x)在x0处无定义时，都不正确； 偶函数的图象关于y轴对称，正确； 既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f(x)0， xa，a(其中a可为任一确定的正实数)，错误 【答案】 ,函数奇偶性的判定,讨论下列函数的奇偶性： 【思路点拨】 首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数),【自主探究】 (1)要使f(x)有意义，则 0， 解得1x1，显然f(x)的定义域不关于原点对称， f(x)不存在奇偶性 (2) 2x2且x0， 函数f(x)的定义域关于原点对称 f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数,【方法点评】 1.判断函数奇偶性的一般步骤 (1)首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数 (2)若定义域关于原点对称，再判定f(x)与f(x)之间的关系 若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则f(x)为奇函数； 若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则f(x)为偶函数； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数,2一些重要类型的奇偶函数： (1)函数f(x)axax为偶函数， 函数f(x)axax为奇函数；,1判断下列函数的奇偶性： (3)f(x)|xa|(常数aR),【解析】 (1)f(x)的定义域为x|x0不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)f(x)的定义域为1,1 关于原点对称， 此时f(x)0，即f(x)f(x)且f(x)f(x)， f(x) 既是奇函数又是偶函数,(3)f(x)的定义域为R. 当a0时，f(x)|x|，f(x)f(x)， 此时f(x)为偶函数 当a0时，f(a)0，f(a)2|a|， f(a) f(a)且f(a)f(a)， 此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数 综上可知，a0时，f(x)为偶函数； a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数,分数函数的奇偶性,已知函数f(x) 试判断函数f(x)的奇偶性,【思路点拨】,【自主探究】 由题设可知函数的定义域关于原点对称 当x0时，x0， f(x)f(x) 当x0时，x0， f(x)f(x) 综上所述，对于x0都有f(x)f(x)成立， f(x)为偶函数,【方法点评】 分段函数奇偶性的判定步骤： (1)分析其定义域是否关于原点对称； (2)对x的值进行分段讨论，寻求f(x)与f(x)在各段上的关系； (3)综合(2)在定义域内f(x)与f(x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性,【解析】 当x1时，f(x)x2，x1， f(x)(x)2x2f(x) 当x1时，f(x)x2，x1， f(x)(x)2x2f(x) 当1x1时，f(x)0，1x1， f(x)0f(x) 综上可知，对于定义域内的每一个x都有f(x)f(x)， f(x)为偶函数,2判断函数f(x),抽象函数的奇偶性,已知函数f(x)对一切x、yR， 都有f(xy)f(x)f(y) (1)试判断f(x)的奇偶性； (2)若f(3)a，用a表示f(12) 【思路点拨】 (1)判断f(x)的奇偶性，即找f(x)与f(x)之间的关系， 令yx，有f(0)f(x)f(x)，再想法求f(0)即可； (2)寻找f(12)与f(3)之间的关系，注意用(1)问的结论,【自主探究】 (1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称 又函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)， 令xy0，得f(0)2f(0)，f(0)0. 再令yx，得f(0)f(x)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为奇函数 (2)f(3)a且f(x)为奇函数， f(3)f(3)a. 又f(xy)f(x)f(y)，x、yR， f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6) 2f(33)4f(3)4a.,【方法点评】 判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(x)，f(x)； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； (3)找出f(x)与f(x)的关系，得出结论,3函数f(x)，xR，若对于任意实数x1，x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)试判断函数yf(x)的奇偶性 【解析】 对于任意实数x1，x2都有 f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)， 令x10，x2x，得 f(x)f(x)2f(0)f(x) 令x1x，x20，得 f(x)f(x)2f(0)f(x) 由得，f(x)f(x)， yf(x)为偶函数,1(2009年重庆高考)若f(x) a是奇函数，则a_.,【解析】 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即 a，得：2a1，a.,【答案】,2(2009年山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_. 【解析】 由已知，定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点，又f(x)在0,2区间上为增函数，所以方程f(x)m(m0)在0,2区间上有且只有一个根，不妨设为x1；,f(x1)f(x1)f(x14)f(x14)， x142,4也是一个根， 记为x2，x2x14x1x24. 又f(x4)f(x)，f(x)是周期为8的周期函数， f(x18)f(x1)m，不妨将此根记为x3，且x3x188，6； 同理可知x4x286，4， x1x2x3x4x1x2x18x288. 【答案】 8,3(2009年全国高考)函数f(x)的定义域为R.若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数 【解析】 由于f(x1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(1,0)， f(1x)f(1x)，即f(x)f(2x)又f(x1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(1,0)，f(1x)f(1x)，即f(x)f(2x)，f(2x)f(2x)，f(4x)f(x)可知4为函数f(x)的周期，则f(x3)是奇函数故选D. 【答案】 D,4(2009年陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1)0.则当nN*时，有( ) Af(n)f(n1)f(n1) Bf(n1)f(n)f(n1) Cf(n1)f(n)f(n1) Df(n1)f(n1)f(n),【解析】 由(x2x1)f(x2)f(x1)0得f(x)在x (，0为增函数 又f(x)为偶函数，所以f(x)在x0，)为减函数 又f(n)f(n)且0n1nn1， f(n1)f(n)f(n1)， 即f(n1)f(n)f(n1)故选C. 【答案】 C,5(2009年江苏高考)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 008)f(2 009)的值为( ) A2 B1 C1 D2 【解析】 f(x)是偶函数，f(2 008)f(2 008) f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)周期为2. f(2 008)f(2 009)f(2 008)f(2 009)f(0)f(1)log21log22010.故选C. 【答案】 C,1奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(x)±f(x)f(x)±f(x)0 ±1f(x)0 2奇函数的图象关于原点对称，并且在两个对称区间上有相同的单调性偶函数的图象关于y轴对称，并且在两个对称区间上的单调性相反 3函数的奇偶性是整个定义域上的性质，因此，讨论奇偶性首先要看其定义域 4解题中要注意以下性质的灵活运用： (1)f(x)为偶函数f(x)f