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届高三数学函数的奇偶性

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  • 卖家[上传人]:tia****nde
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  • 上传时间:2019-01-18
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    • 1、第三节 函数的奇偶性,1.函数的奇偶性,1.奇偶函数的定义域有何特点? 提示:由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中,即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称. 2.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数? 提示:存在既是奇函数,又是偶函数的函数,它们的特点是定义域关于原点对称,且解析式化简后等于零.,2奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”) (2)在公共定义域内, 两个奇函数的和函数是 ,两个奇函数的积函数是偶函数; 两个偶函数的和函数、积函数是 ; 一个奇函数,一个偶函数的积函数是 (3)若f(x)是奇函数且在x0处有定义,则f(0)0.,相同,相反,奇函数,偶函数,奇函数,1设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) Af(x)f(x)是奇函数 Bf(x)|f(x)|是奇函数 Cf(x)f(x)是偶函数 Df(x)f(x)是偶函数 【解析】 令F(x)f(x)f(x),则F(x)f(x)f(x),即F(

      2、x)F(x),故D正确 【答案】 D,2对任意实数x,下列函数为奇函数的是( ) Ay2x3 By3x2 Cyln5x Dy|x|cosx 【解析】 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数设yf(x)ln5xxln5, f(x)xln5f(x) 【答案】 C,3对于定义在R上的任何奇函数,均有( ) Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0 Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)0 【解析】 f(x)f(x), f(x)f(x)f(x)20. 【答案】 A,4已知函数yf(x)为奇函数,若f(3)f(2)1,则f(2)f(3)_. 【解析】 f(x)为奇函数且f(3)f(2)1, f(2)f(3)f(3)f(2)1 【答案】 1,5下面四个命题: 偶函数的图象一定与y轴相交; 奇函数的图象一定通过原点; 偶函数的图象关于y轴对称; 既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中正确的命题序号为_ 【解析】 当yf(x)在x0处无定义时,都不正确; 偶函数的图象关于y轴对称,正确; 既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f(x)0, xa,a(其中a可为任一确定的正实数)

      3、,错误 【答案】 ,函数奇偶性的判定,讨论下列函数的奇偶性: 【思路点拨】 首先判断函数的定义域,若可能具有奇偶性,则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简;最后判断f(x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数),【自主探究】 (1)要使f(x)有意义,则 0, 解得1x1,显然f(x)的定义域不关于原点对称, f(x)不存在奇偶性 (2) 2x2且x0, 函数f(x)的定义域关于原点对称 f(x)f(x),即函数f(x)是奇函数,【方法点评】 1.判断函数奇偶性的一般步骤 (1)首先确定函数的定义域,看它是否关于原点对称若不对称,则既不是奇函数又不是偶函数 (2)若定义域关于原点对称,再判定f(x)与f(x)之间的关系 若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0),则f(x)为奇函数; 若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0),则f(x)为偶函数; 若f(x)f(x)且f(x)f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数; 若f(x)f(x)且f(x)f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数,2一些重要类型的奇偶函数: (1)函数f(x)axax为偶函数, 函数f(x)axax为奇

      4、函数;,1判断下列函数的奇偶性: (3)f(x)|xa|(常数aR),【解析】 (1)f(x)的定义域为x|x0不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)f(x)的定义域为1,1 关于原点对称, 此时f(x)0,即f(x)f(x)且f(x)f(x), f(x) 既是奇函数又是偶函数,(3)f(x)的定义域为R. 当a0时,f(x)|x|,f(x)f(x), 此时f(x)为偶函数 当a0时,f(a)0,f(a)2|a|, f(a) f(a)且f(a)f(a), 此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数 综上可知,a0时,f(x)为偶函数; a0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数,分数函数的奇偶性,已知函数f(x) 试判断函数f(x)的奇偶性,【思路点拨】,【自主探究】 由题设可知函数的定义域关于原点对称 当x0时,x0, f(x)f(x) 当x0时,x0, f(x)f(x) 综上所述,对于x0都有f(x)f(x)成立, f(x)为偶函数,【方法点评】 分段函数奇偶性的判定步骤: (1)分析其定义域是否关于原点对称; (2)对x的值进行分段讨论,寻求f(x)与f(x)在各段上

      5、的关系; (3)综合(2)在定义域内f(x)与f(x)的关系,从而判断f(x)的奇偶性,【解析】 当x1时,f(x)x2,x1, f(x)(x)2x2f(x) 当x1时,f(x)x2,x1, f(x)(x)2x2f(x) 当1x1时,f(x)0,1x1, f(x)0f(x) 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(x)f(x), f(x)为偶函数,2判断函数f(x),抽象函数的奇偶性,已知函数f(x)对一切x、yR, 都有f(xy)f(x)f(y) (1)试判断f(x)的奇偶性; (2)若f(3)a,用a表示f(12) 【思路点拨】 (1)判断f(x)的奇偶性,即找f(x)与f(x)之间的关系, 令yx,有f(0)f(x)f(x),再想法求f(0)即可; (2)寻找f(12)与f(3)之间的关系,注意用(1)问的结论,【自主探究】 (1)显然f(x)的定义域是R,关于原点对称 又函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y), 令xy0,得f(0)2f(0),f(0)0. 再令yx,得f(0)f(x)f(x), f(x)f(x),f(x)为奇函数 (2)f(3)a且f(x)为

      6、奇函数, f(3)f(3)a. 又f(xy)f(x)f(y),x、yR, f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6) 2f(33)4f(3)4a.,【方法点评】 判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 (1)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现f(x),f(x); (2)巧妙赋值,合理、灵活变形配凑; (3)找出f(x)与f(x)的关系,得出结论,3函数f(x),xR,若对于任意实数x1,x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)试判断函数yf(x)的奇偶性 【解析】 对于任意实数x1,x2都有 f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2), 令x10,x2x,得 f(x)f(x)2f(0)f(x) 令x1x,x20,得 f(x)f(x)2f(0)f(x) 由得,f(x)f(x), yf(x)为偶函数,1(2009年重庆高考)若f(x) a是奇函数,则a_.,【解析】 f(x)为奇函数,f(x)f(x),即 a,得:2a1,a.,【答案】,2(2009年山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m

      7、(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4_. 【解析】 由已知,定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点,又f(x)在0,2区间上为增函数,所以方程f(x)m(m0)在0,2区间上有且只有一个根,不妨设为x1;,f(x1)f(x1)f(x14)f(x14), x142,4也是一个根, 记为x2,x2x14x1x24. 又f(x4)f(x),f(x)是周期为8的周期函数, f(x18)f(x1)m,不妨将此根记为x3,且x3x188,6; 同理可知x4x286,4, x1x2x3x4x1x2x18x288. 【答案】 8,3(2009年全国高考)函数f(x)的定义域为R.若f(x1)与f(x1)都是奇函数,则( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数 【解析】 由于f(x1)是奇函数,则函数f(x)的对称中心为(1,0), f(1x)f(1x),即f(x)f(2x)又f(x1)是奇函数,则函数f(x)的对称中心为(1,0),f(1x)f(1x),即f(x)f(2x),f(2x)f(2x),f(4x)f(

      8、x)可知4为函数f(x)的周期,则f(x3)是奇函数故选D. 【答案】 D,4(2009年陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2(,0(x1x2),有(x2x1)(f(x2)f(x1)0.则当nN*时,有( ) Af(n)f(n1)f(n1) Bf(n1)f(n)f(n1) Cf(n1)f(n)f(n1) Df(n1)f(n1)f(n),【解析】 由(x2x1)f(x2)f(x1)0得f(x)在x (,0为增函数 又f(x)为偶函数,所以f(x)在x0,)为减函数 又f(n)f(n)且0n1nn1, f(n1)f(n)f(n1), 即f(n1)f(n)f(n1)故选C. 【答案】 C,5(2009年江苏高考)已知函数f(x)是(,)上的偶函数,若对于x0,都有f(x2)f(x),且当x0,2)时,f(x)log2(x1),则f(2 008)f(2 009)的值为( ) A2 B1 C1 D2 【解析】 f(x)是偶函数,f(2 008)f(2 008) f(x)在x0时f(x2)f(x),f(x)周期为2. f(2 008)f(2 009)f(2 008)f(2 009)f(0)f(1)log21log22010.故选C. 【答案】 C,1奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法,为了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变通形式:f(x)f(x)f(x)f(x)0 1f(x)0 2奇函数的图象关于原点对称,并且在两个对称区间上有相同的单调性偶函数的图象关于y轴对称,并且在两个对称区间上的单调性相反 3函数的奇偶性是整个定义域上的性质,因此,讨论奇偶性首先要看其定义域 4解题中要注意以下性质的灵活运用: (1)f(x)为偶函数f(x)f

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