离散数学第2章一阶逻辑

1,第2章 一阶逻辑,一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类 一阶逻辑等值式、前束范式 一阶逻辑推理理论,2,例 “苏格拉底三段论” 人都是要死的.(p) 苏格拉底是人.(q) 所以苏格拉底是要死的.(r) 在命题逻辑中，推理的形式结构： （pÙ q）® r (不是重言式) 原因：命题逻辑中，p、q、r之间的内在联系没有反映出来. 方法：反映p、q、r内在联系，对简单命题进一步分析.,3,2.1 一阶逻辑基本概念,个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化,4,基本概念个体词、谓词、量词,个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体，它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念. 表示主语的词（名词或代词）：苏格拉底，2，黑板，自然数，思想，定理. 个体常项：具体的或特定的个体词， 用a, b, c表示 个体变项：抽象的或泛指的个体词， 用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如a, b, c, 1, 2 无限个体域，如N, Z, R, 全总个体域: 宇宙间一切事物组成,5,基本概念 (续),谓词: 表示个体词的性质或相互之间关系的词 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词 F: 是人，F(a)：a是人 G： 是自然数， F(2)：2是自然数 谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词 F: 具有性质F，F(x)：x具有性质F 元数：谓词中所包含的个体词数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示个体词之间的关系 如 L(x,y)： x与y有关系L， L(x,y)： x比y高2厘米 注意：多元谓词中，个体变项的顺序不能随意改动,6,个体变项和谓词的联合体，F(x),L(x,y)，也称为谓词 n元谓词 L(x1, x2, xn)可看作一个函数，定义域为个体变项的个体域，值域为0,1 n元谓词 L(x1, x2, xn)的真值不确定，不是命题, 如：L(x,y) 如果L(x,y)表示 “x小于y”，谓词部分已经是常项，但 还不是命题. 考虑L(2,3)和L(3,2) L(x1, x2, xn)是命题：只有当L是常项， x1, x2, xn是个体常项 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 如L(a, b) 如L的意义明确，则0元谓词都是命题,7,一阶逻辑中命题符号化,例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a),8,例1(续),(2) 是无理数仅当 是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 是无理数，q： 是有理数. 符号化为 p q, 这是假命题 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 (3) 如果23，则33，q：3y，G(x,y)：xy, 符号化为 F(2,3)G(3,4),9,例1(续) （4）如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵亮高. 在命题逻辑中, 设 p：张明比李民高，q：李民比赵亮高, r:张明比赵亮高. 符号化为： p q r 在一阶逻辑中, 设 F(x,y)：x比y高 a:张明，b:李民，c:赵亮 符号化为： F(a, b) F(b, c) F(a, c),10,基本概念(续) 量词: 表示数量的词 例如 （1）所有的人都要死的； （2）有的人活一百岁以上； 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 x 表示对个体域中所有的个体， x F(x)表示个体域中所有的个体都有性质F. x F(x)，其中F(x)： x是要死的，个体域为人类集合 存在量词: 表示存在着, 有的, 有一个，至少有一个等 x 表示存在个体域中的个体， x F(x)表示存在着个体域中的个体具有有性质F x G(x)，其中G (x)： x活一百岁以上，个体域为人类集合,11,如果个体域D为全总个体域，则 x F(x)，其中F(x)： x是要死的，表示宇宙间的一切事物都要死的. x G(x)，其中G (x)： x活一百岁以上，表示宇宙间的一切事物中存在活一百岁以上的. 特性谓词： M(x): x是人 符号化为： （1）x （M(x) F(x)） （2） x （M(x) G(x)） 考虑： （1）x （M(x) F(x)） （2） x （M(x) G(x)）,12,一阶逻辑中命题符号化(续),例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为 x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 (1) x (F(x)G(x) (2) x (F(x)G(x) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.,13,一阶逻辑中命题符号化(续),例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): xy x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y)：xy x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值,14,一阶逻辑中命题符号化(续),几点注意： 1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒 例：对任意x，存在着y，使得x+y=5. 个体域为实数集. 符号化为： x y H（x,y), 其中H（x,y):x+y=5 考虑 y x H（x,y) 否定式的使用,15,例：在一界逻辑中命题符号化 没有不呼吸的人 不是所有的人都喜欢吃糖 不是所有的火车都比所有的汽车快 x( F(x) G(x) 其中F(x)：x是人， G(x)：x呼吸 或者： x( F(x) G(x) x( F(x) G(x) 其中F(x)：x是人， G(x)：x喜欢吃糖 或者： x( F(x) G(x) x( F(x) y (G(y) H(x,y) ) 或者： x( F(x) y (G(y) H(x,y) ),16,例：在一界逻辑中命题符号化 一切人都不一样高 每个自然数都有后继数 有的自然数无先驱数 x y( F(x) F(y) G(x,y) H(x,y) 其中F(x)：x是人， G(x,y) :x和y不是同一个人， H(x,y)： x和y一样高 或者： x y( F(x) F(y) G(x,y) H(x,y) x( F(x) y(G(y) H(x,y) 其中F(x)：x是自然数， H(x,y) ：y是x的后继数 或者： x( F(x) L(x) ， L(x) ：x有后继数 x( F(x) y(G(y) H(x,y) 或者： x( F(x) L(x) ) ，L(x) ：x有先驱数,17,2.2 一阶逻辑公式及解释,字母表 合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释 永真式（逻辑有效式） 矛盾式（永假式） 可满足式,18,字母表,定义 字母表包含下述符号： (1) 个体常项：a, b, c, , ai, bi, ci, , i 1 (2) 个体变项：x, y, z, , xi, yi, zi, , i 1 (3) 函数符号：f, g, h, , fi, gi, hi, , i 1 (4) 谓词符号：F, G, H, , Fi, Gi, Hi, , i 1 (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：( , ), ，,19,项,定义 项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若(x1, x2, , xn)是任意的n元函数，t1,t2,tn 是任意的n个项，则(t1, t2, , tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的. 例：a，b，x，y，f(x,y)=x+y， g(x,y)=x-y都是项 f(a, g(x,y)=a+ (x-y)是项 其实, 个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数 和复合函数还是项,20,原子公式,定义 设R(x1, x2, , xn)是任意的n元谓词，t1,t2, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, , tn)是原子公式. 其实，原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4)等均为原子公式,21,合式公式,定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)(4)形成的符号串 才是合式公式(谓词公式).,22,个体变项的自由出现与约束出现,定义 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相 应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都 称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称 为是自由出现的. 例如, 在公式 x(F(x,y)G(x,z) 中, A=(F(x,y)G(x,z)为x的辖域， x为指导变项, A中x的两次出现均为约束出现， y与z均为自由出现. 闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.,23,例1：x(F(x) y H(x,y) ) y H(x,y)中， y 为指导变项， 的辖域为H(x,y)，其中y 为约束出现的， x为自由出现的. 在整个合式公式中， x为指导变项， 的辖域为(F(x) y H(x,y) )，其中x与y 都是约束出现的， x约束出现2次， y约束出现1次. 例2：x y(R(x,y) L(y,z) ) x H(x,y) x y(R(x,y) L(y,z) )中， x,y都是指导变项，辖域为(R(x,y) L(y,z) )， x与y 都是约束出现的， z为自由出现的. x H(x,y)中， x 为指导变项， 的辖域为H(x,y)，其中x 为约束出现的， y为自由出现的 在此公式中， x 为约束出现的，y为约束出现的，又为自由出现的. z为自由出现的.,24,换名规则 将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未出现过的个体变项符号，公式中的其余部分不变。 例：xF(x) G(x,y) 换名规则：zF(z) G(x,y) 代替规则 将某个自由出现的个体变项及对应的指导变项，改成公式中未出现过的个体变项符号，处处代替。 代替规则：xF(x) G(z,y) 用处：不存在既是约束出现，又是自由出现的个体变项,25,公式的解释与分类,给定公式 A=x(F(x)G(x) 成真解释: 个体域N, F(x): x2, G(x): x1 代入得A=x(x2x1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x1,