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离散数学第2章一阶逻辑

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  • 卖家[上传人]:san****019
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    • 1、1,第2章 一阶逻辑,一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类 一阶逻辑等值式、前束范式 一阶逻辑推理理论,2,例 “苏格拉底三段论” 人都是要死的.(p) 苏格拉底是人.(q) 所以苏格拉底是要死的.(r) 在命题逻辑中,推理的形式结构: (p q) r (不是重言式) 原因:命题逻辑中,p、q、r之间的内在联系没有反映出来. 方法:反映p、q、r内在联系,对简单命题进一步分析.,3,2.1 一阶逻辑基本概念,个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化,4,基本概念个体词、谓词、量词,个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体,它可以是一个具体的事物,也可以是一个抽象的概念. 表示主语的词(名词或代词):苏格拉底,2,黑板,自然数,思想,定理. 个体常项:具体的或特定的个体词, 用a, b, c表示 个体变项:抽象的或泛指的个体词, 用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如a, b, c, 1, 2 无限个体域,如N, Z, R, 全总个体域: 宇宙间一切事物组成,5,基本概念 (续),谓词: 表示个体词的性质或相互之间关系的词

      2、 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词 F: 是人,F(a):a是人 G: 是自然数, F(2):2是自然数 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词 F: 具有性质F,F(x):x具有性质F 元数:谓词中所包含的个体词数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示个体词之间的关系 如 L(x,y): x与y有关系L, L(x,y): x比y高2厘米 注意:多元谓词中,个体变项的顺序不能随意改动,6,个体变项和谓词的联合体,F(x),L(x,y),也称为谓词 n元谓词 L(x1, x2, xn)可看作一个函数,定义域为个体变项的个体域,值域为0,1 n元谓词 L(x1, x2, xn)的真值不确定,不是命题, 如:L(x,y) 如果L(x,y)表示 “x小于y”,谓词部分已经是常项,但 还不是命题. 考虑L(2,3)和L(3,2) L(x1, x2, xn)是命题:只有当L是常项, x1, x2, xn是个体常项 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 如L(a, b) 如L的意义明确,则0元谓词都是命题,7,一阶逻辑中命题符号化,例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命

      3、题逻辑中符号化,再在一阶 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a),8,例1(续),(2) 是无理数仅当 是有理数 在命题逻辑中, 设 p: 是无理数,q: 是有理数. 符号化为 p q, 这是假命题 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 (3) 如果23,则33,q:3y,G(x,y):xy, 符号化为 F(2,3)G(3,4),9,例1(续) (4)如果张明比李民高,李民比赵亮高,则张明比赵亮高. 在命题逻辑中, 设 p:张明比李民高,q:李民比赵亮高, r:张明比赵亮高. 符号化为: p q r 在一阶逻辑中, 设 F(x,y):x比y高 a:张明,b:李民,c:赵亮 符号化为: F(a, b) F(b, c) F(a, c),10,基本概念(续) 量词: 表示数量的词 例如 (1)所有的人都要死的; (2)有的人活一百岁以上; 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 x 表示对个体域中所有的个

      4、体, x F(x)表示个体域中所有的个体都有性质F. x F(x),其中F(x): x是要死的,个体域为人类集合 存在量词: 表示存在着, 有的, 有一个,至少有一个等 x 表示存在个体域中的个体, x F(x)表示存在着个体域中的个体具有有性质F x G(x),其中G (x): x活一百岁以上,个体域为人类集合,11,如果个体域D为全总个体域,则 x F(x),其中F(x): x是要死的,表示宇宙间的一切事物都要死的. x G(x),其中G (x): x活一百岁以上,表示宇宙间的一切事物中存在活一百岁以上的. 特性谓词: M(x): x是人 符号化为: (1)x (M(x) F(x)) (2) x (M(x) G(x)) 考虑: (1)x (M(x) F(x)) (2) x (M(x) G(x)),12,一阶逻辑中命题符号化(续),例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为 x G

      5、(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中 (1) x (F(x)G(x) (2) x (F(x)G(x) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.,13,一阶逻辑中命题符号化(续),例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): xy x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y):xy x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值,14,一阶逻辑中命题符号化(续),几点注意: 1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求,用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒 例:对任意x,存在着y,使得x+y=5. 个体域为实数集. 符号化为: x y H(x,y), 其中H(x,y):x+y=5 考虑 y x H(x,y) 否定式的使用,15,例:在一界逻辑中

      6、命题符号化 没有不呼吸的人 不是所有的人都喜欢吃糖 不是所有的火车都比所有的汽车快 x( F(x) G(x) 其中F(x):x是人, G(x):x呼吸 或者: x( F(x) G(x) x( F(x) G(x) 其中F(x):x是人, G(x):x喜欢吃糖 或者: x( F(x) G(x) x( F(x) y (G(y) H(x,y) ) 或者: x( F(x) y (G(y) H(x,y) ),16,例:在一界逻辑中命题符号化 一切人都不一样高 每个自然数都有后继数 有的自然数无先驱数 x y( F(x) F(y) G(x,y) H(x,y) 其中F(x):x是人, G(x,y) :x和y不是同一个人, H(x,y): x和y一样高 或者: x y( F(x) F(y) G(x,y) H(x,y) x( F(x) y(G(y) H(x,y) 其中F(x):x是自然数, H(x,y) :y是x的后继数 或者: x( F(x) L(x) , L(x) :x有后继数 x( F(x) y(G(y) H(x,y) 或者: x( F(x) L(x) ) ,L(x) :x有先驱数,17,2.2 一

      7、阶逻辑公式及解释,字母表 合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释 永真式(逻辑有效式) 矛盾式(永假式) 可满足式,18,字母表,定义 字母表包含下述符号: (1) 个体常项:a, b, c, , ai, bi, ci, , i 1 (2) 个体变项:x, y, z, , xi, yi, zi, , i 1 (3) 函数符号:f, g, h, , fi, gi, hi, , i 1 (4) 谓词符号:F, G, H, , Fi, Gi, Hi, , i 1 (5) 量词符号:, (6) 联结词符号:, , , , (7) 括号与逗号:( , ), ,,19,项,定义 项的定义如下: (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若(x1, x2, , xn)是任意的n元函数,t1,t2,tn 是任意的n个项,则(t1, t2, , tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的. 例:a,b,x,y,f(x,y)=x+y, g(x,y)=x-y都是项 f(a, g(x,y)=a+ (x-y)是项 其实, 个体常项、变项是项,由它们构成的n元函数

      8、和复合函数还是项,20,原子公式,定义 设R(x1, x2, , xn)是任意的n元谓词,t1,t2, tn 是任意的n个项,则称R(t1, t2, , tn)是原子公式. 其实,原子公式是由项组成的n元谓词. 例如,F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4)等均为原子公式,21,合式公式,定义 合式公式(简称公式)定义如下: (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式,则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式,则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式,则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)(4)形成的符号串 才是合式公式(谓词公式).,22,个体变项的自由出现与约束出现,定义 在公式xA和xA中,称x为指导变元,A为相 应量词的辖域. 在x和x的辖域中,x的所有出现都 称为约束出现,A中不是约束出现的其他变项均称 为是自由出现的. 例如, 在公式 x(F(x,y)G(x,z) 中, A=(F(x,y)G(x,z)为x的辖域, x为指导变项, A中x的两次出现均为约束出现, y与z均为自由出

      9、现. 闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.,23,例1:x(F(x) y H(x,y) ) y H(x,y)中, y 为指导变项, 的辖域为H(x,y),其中y 为约束出现的, x为自由出现的. 在整个合式公式中, x为指导变项, 的辖域为(F(x) y H(x,y) ),其中x与y 都是约束出现的, x约束出现2次, y约束出现1次. 例2:x y(R(x,y) L(y,z) ) x H(x,y) x y(R(x,y) L(y,z) )中, x,y都是指导变项,辖域为(R(x,y) L(y,z) ), x与y 都是约束出现的, z为自由出现的. x H(x,y)中, x 为指导变项, 的辖域为H(x,y),其中x 为约束出现的, y为自由出现的 在此公式中, x 为约束出现的,y为约束出现的,又为自由出现的. z为自由出现的.,24,换名规则 将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项,改成另一个辖域中未出现过的个体变项符号,公式中的其余部分不变。 例:xF(x) G(x,y) 换名规则:zF(z) G(x,y) 代替规则 将某个自由出现的个体变项及对应的指导变项,改成公式中未出现过的个体变项符号,处处代替。 代替规则:xF(x) G(z,y) 用处:不存在既是约束出现,又是自由出现的个体变项,25,公式的解释与分类,给定公式 A=x(F(x)G(x) 成真解释: 个体域N, F(x): x2, G(x): x1 代入得A=x(x2x1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x1,

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