离散数学第2章一阶逻辑
34页1、1,第2章 一阶逻辑,一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类 一阶逻辑等值式、前束范式 一阶逻辑推理理论,2,例 “苏格拉底三段论” 人都是要死的.(p) 苏格拉底是人.(q) 所以苏格拉底是要死的.(r) 在命题逻辑中,推理的形式结构: (p q) r (不是重言式) 原因:命题逻辑中,p、q、r之间的内在联系没有反映出来. 方法:反映p、q、r内在联系,对简单命题进一步分析.,3,2.1 一阶逻辑基本概念,个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化,4,基本概念个体词、谓词、量词,个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体,它可以是一个具体的事物,也可以是一个抽象的概念. 表示主语的词(名词或代词):苏格拉底,2,黑板,自然数,思想,定理. 个体常项:具体的或特定的个体词, 用a, b, c表示 个体变项:抽象的或泛指的个体词, 用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如a, b, c, 1, 2 无限个体域,如N, Z, R, 全总个体域: 宇宙间一切事物组成,5,基本概念 (续),谓词: 表示个体词的性质或相互之间关系的词
2、 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词 F: 是人,F(a):a是人 G: 是自然数, F(2):2是自然数 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词 F: 具有性质F,F(x):x具有性质F 元数:谓词中所包含的个体词数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示个体词之间的关系 如 L(x,y): x与y有关系L, L(x,y): x比y高2厘米 注意:多元谓词中,个体变项的顺序不能随意改动,6,个体变项和谓词的联合体,F(x),L(x,y),也称为谓词 n元谓词 L(x1, x2, xn)可看作一个函数,定义域为个体变项的个体域,值域为0,1 n元谓词 L(x1, x2, xn)的真值不确定,不是命题, 如:L(x,y) 如果L(x,y)表示 “x小于y”,谓词部分已经是常项,但 还不是命题. 考虑L(2,3)和L(3,2) L(x1, x2, xn)是命题:只有当L是常项, x1, x2, xn是个体常项 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 如L(a, b) 如L的意义明确,则0元谓词都是命题,7,一阶逻辑中命题符号化,例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命
3、题逻辑中符号化,再在一阶 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a),8,例1(续),(2) 是无理数仅当 是有理数 在命题逻辑中, 设 p: 是无理数,q: 是有理数. 符号化为 p q, 这是假命题 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 (3) 如果23,则33,q:3y,G(x,y):xy, 符号化为 F(2,3)G(3,4),9,例1(续) (4)如果张明比李民高,李民比赵亮高,则张明比赵亮高. 在命题逻辑中, 设 p:张明比李民高,q:李民比赵亮高, r:张明比赵亮高. 符号化为: p q r 在一阶逻辑中, 设 F(x,y):x比y高 a:张明,b:李民,c:赵亮 符号化为: F(a, b) F(b, c) F(a, c),10,基本概念(续) 量词: 表示数量的词 例如 (1)所有的人都要死的; (2)有的人活一百岁以上; 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 x 表示对个体域中所有的个
4、体, x F(x)表示个体域中所有的个体都有性质F. x F(x),其中F(x): x是要死的,个体域为人类集合 存在量词: 表示存在着, 有的, 有一个,至少有一个等 x 表示存在个体域中的个体, x F(x)表示存在着个体域中的个体具有有性质F x G(x),其中G (x): x活一百岁以上,个体域为人类集合,11,如果个体域D为全总个体域,则 x F(x),其中F(x): x是要死的,表示宇宙间的一切事物都要死的. x G(x),其中G (x): x活一百岁以上,表示宇宙间的一切事物中存在活一百岁以上的. 特性谓词: M(x): x是人 符号化为: (1)x (M(x) F(x)) (2) x (M(x) G(x)) 考虑: (1)x (M(x) F(x)) (2) x (M(x) G(x)),12,一阶逻辑中命题符号化(续),例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为 x G
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