数学建模第11章马氏模型

第11章 马氏链模型,11.1 健康与疾病 11.2 钢琴销售的存贮策略,马氏链模型,系统在每个时期所处的状态是随机的,从一时期到下时期的状态按一定概率转移,下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性）,描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型,马氏链 (Markov Chain) 时间、状态均为离散的随机转移过程,通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质,例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，,11.1 健康与疾病,人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变,保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额,若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率,Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, 无关,状态与状态转移,状态转移具有无后效性,设投保时健康,给定a(0), 预测 a(n), n=1,2,设投保时疾病,n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关,状态与状态转移,例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1 健康, Xn=2 疾病,p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02,死亡为第3种状态，记Xn=3,健康与疾病,p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1,p31=0, p32=0, p33=1,设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2,不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。,状态与状态转移,马氏链的基本方程,基本方程,马氏链的两个重要类型,1. 正则链 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。,w 稳态概率,马氏链的两个重要类型,2. 吸收链 存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。,有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式,R有非零元素,yi 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。,11.2 钢琴销售的存贮策略,钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金,一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架,存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。,估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。,背景与问题,问题分析,顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率,存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。,用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。,动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。,可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。,模型假设,钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架,存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则，不订购。,以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。,在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。,模型建立,Dn第n周需求量，均值为1的波松分布,Sn第n周初库存量(状态变量 ),状态转移规律,状态转移阵, ,模型建立,状态概率,马氏链的基本方程,已知初始状态，可预测第n周初库存量Sn=i 的概率,n, 状态概率,第n周失去销售机会的概率,n充分大时,模型求解,从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。,1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性,模型求解,第n周平均售量,从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架),n充分大时,思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架) ?,2. 估计这种策略下每周的平均销售量,敏感性分析,当平均需求在每周1 (架) 附近波动时，最终结果有多大变化。,设Dn服从均值为的波松分布,状态转移阵,第n周(n充分大)失去销售机会的概率,当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12% 。,第11章,课堂讨论：教材PP.332 ex 7,