薛定谔方程一维势阱

量子力学建立于 1923 1927 年间，两个等价的理论矩阵力学和波动力学。 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程。,薛定谔（Erwin Schrodinger，18871961）奥地利物理学家。 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法。,薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。,薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。(18871961),在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。,1、薛定谔方程建立应满足的条件,（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程。,（2）要建立的方程是线性的，即如果1 、2是方程的解，则1 和2的线性叠加a 1+b 2 也应是方程的解（量子力学态的叠加原理）。,（3）这个方程应该是普适的，其系数不应含有状态参量（动量、能量等）。,11.7 薛定谔方程,（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。,沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数,2、单能自由粒子（沿x方向匀速运动）的薛定谔方程,分别对时间和位置坐标求偏导数得：,这就是一维自由运动粒子的薛定谔方程 。,利用E=P2/2m,整理得：,3、势场中单能粒子（沿x方向匀速运动）的薛定谔方程,此时粒子具有的能量：,同样导出：,这就是势场中单能粒子的薛定谔方程,利用E=P2/2m得：,对势场中三维运动的粒子,引入拉普拉斯算符： 则有,再引入哈密顿算符： 则有,一般的薛定谔方程,4、 定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间变化）,若作用在粒子上的势场不显含时间 t ，在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，可用分离变量法求薛定谔方程的特解。,两边除以 可得：,由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为E则有：,（定态薛定谔方程）,与自由粒子波函数类比，E具有能量的量纲，它代表粒子的能量。,把常数A归到空间部分，薛定谔方程的特解可写为：,（定态波函数）,对应的几率密度与时间无关。即：,处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。,量子力学的处理方法,（1）已知粒子的m，势能函数V，即可给出薛定谔方程 （2）由给定的初、边值条件，求出波函数 （3）由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率密度|2,下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程,11.8 一维无限深方势阱,1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛 定谔方程的自然结果。,已知粒子所处的势场为：,粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深势阱。,其定态薛定谔方程：,在阱内粒子势能为零，满足：,在阱外粒子势能为无穷大，满足：,方程的解必处处为零：,根据波函数的标准化条件，在边界上,粒子被束缚在阱内运动。,在阱内的薛定谔方程可写为：,类似于简谐振子的方程，其通解：,代入边界条件得：,解得：,n不能取零，否则无意义。,因为,此结果说明粒子被束缚在势阱中时，能量只能取一系列分立值，其能量是量子化的。,由归一化条件,一维无限深方势阱中运动的粒子其定态波函数：,称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。,1、存在最小能级 ，称为基态能量。,2、能量是量子化的。,当 能级分布可视为连续的，能量可视为连续变化。,讨论,3、能级间隔：,若 ，同理可得,例：电子在 的一维无限深势阱中,（近似于连续）,（能量分立）,在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经典规律 .,势阱中相邻能级之差,能量,能级相对间隔,当 时， ，能量视为连续变化.,例：电子在 的势阱中 .,（近似于连续）,若 时, （能量分立）,当 很大时， ，量子效应不明显，能量可视为连续变化。,一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,2、 势垒贯穿（隧道效应）,在经典力学中,若粒子的动能 , 它只能在 I 区中运动。,在量子物理学中其定态薛定谔方程为：,令：,三个区间的薛定谔方程化为：,若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有透射波。粒子在 处的几率要大于在 处出现的几率。,其解为：,边界条件,求出解的形式如图,量子力学结果分析：,（1）EV0情况,在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到xa区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， 即粒子具有波动性的具体体现。,（2）EV0情况,在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。,隧道效应和扫描隧道显微镜STM,1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。,只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。,若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。,因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；,利用STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象,使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。,利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。,STM样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。,下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果,这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原 子到Cu表面上构成的量子围栏。,1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约0.5纳米的“分子人”。这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称世界上最小的人形图案。,1994年初，中国科学院真空物理实 验室的研究人员成功地利用一种新 的表面原子操纵方法，通过STM在 硅单晶表面上直接提走硅原子，形 成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的 线条。从STM获得的照片上可以清 晰地看到由这些线条形成的“100”字 样和硅原子晶格整齐排列的背景。,用扫描隧道显微镜观察 到砷化镓表面砷原子的 排列图如下,用扫描隧道显微镜观察到,硅表面7×7重构图 硅表面硅原子排列,例1、已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 ， n = 1, 2, 3, 试计算n = 1时，在 x1 = a/4 x2 = 3a/4 区间内找到粒子的概率。,解：找到粒子的概率P为：,例2、一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，如图所示。描写粒子状态的波函数为 ，其中c为待定常量。求在 0 区间中发现该粒子的概率。,解：由波函数的性质得 由此解得 设在0 - l/3区间内发现该粒子的概率为P，则,