薛定谔方程一维势阱
34页1、量子力学建立于 1923 1927 年间,两个等价的理论矩阵力学和波动力学。 相对论量子力学(1928 年,狄拉克):描述高速运动的粒子的波动方程。,薛定谔(Erwin Schrodinger,18871961)奥地利物理学家。 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法。,薛定谔是奥地利著名的理论物理学家,量子力学的重要奠基人之一,同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定谔的波动力学,是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式,建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位,它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下,薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律,在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。,薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响,不少物理学家参与了生物学的研究工作,使物理学和生物学相结合,形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著,因而于19
2、33年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。(18871961),在量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数来描写;状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年,薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上,建立了势场中微观粒子的微分方程,并提出了一系列理论体系,当时被称作波动力学,现在统称量子力学。,1、薛定谔方程建立应满足的条件,(1)波函数应满足含有时间微商的微分方程。,(2)要建立的方程是线性的,即如果1 、2是方程的解,则1 和2的线性叠加a 1+b 2 也应是方程的解(量子力学态的叠加原理)。,(3)这个方程应该是普适的,其系数不应含有状态参量(动量、能量等)。,11.7 薛定谔方程,(4)经典力学中自由粒子动量与能量的关系(非相对论关系)E=p2/2m在量子力学中仍成立。,沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数,2、单能自由粒子(沿x方向匀速运动)的薛定谔方程,分别对时间和位置坐标求偏导数得:,这就是一维自由运动粒子的薛定谔方程 。,利用E=P2/2m,整理得:,3、势场中单能粒子(沿x方向匀速运动)的薛定谔方程,此时粒子具有的能量:,同样导出:,这就是势场中单能
3、粒子的薛定谔方程,利用E=P2/2m得:,对势场中三维运动的粒子,引入拉普拉斯算符: 则有,再引入哈密顿算符: 则有,一般的薛定谔方程,4、 定态薛定谔方程(即V(x,y,z)是不随时间变化),若作用在粒子上的势场不显含时间 t ,在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况,可用分离变量法求薛定谔方程的特解。,两边除以 可得:,由于空间变量与时间变量相互独立,所以等式两边必须等于同一个常数,设为E则有:,(定态薛定谔方程),与自由粒子波函数类比,E具有能量的量纲,它代表粒子的能量。,把常数A归到空间部分,薛定谔方程的特解可写为:,(定态波函数),对应的几率密度与时间无关。即:,处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的概率密度分布不随时间变化,而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。,量子力学的处理方法,(1)已知粒子的m,势能函数V,即可给出薛定谔方程 (2)由给定的初、边值条件,求出波函数 (3)由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率密度|2,下面以一维无限深势阱为例,求解定态薛定谔方程,11.8 一维无限深方势阱,1、以一维定态为例,求解已知势场的定态薛定谔方程。 了
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