圆的方程热点题型和专项训练题-高一数学人教A版必修二---- 精校解析Word版

从近两年的高考试题来看,求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题；客观题突出了“小而巧”，主要考查圆的标准方程、一般方程，主观题往往在知识交汇处命题，除考查圆的标准方程、一般方程外，还考查待定系数法、方程思想等.一求圆的方程 例1已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .【分析】先由条件确定选用圆的标准方程,后由条件确定圆心坐标与半径.【答案】【点评】求圆的方程时，据条件选择合适的方程形式是关键.（1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数.（2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式.例2：已知一圆经过点A（2，3）和B（2，5），且圆心C在直线：上，求此圆的标准方程，并判断点与该圆的位置关系；【分析】该圆的任何一条弦的垂直平分线也都经过圆心,于是弦AB的垂直平分线必和直线：相交于圆心；【解析】（1）因为A（2，3），B（2，5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，4），又，所以线段AB的垂直平分线的方程是联立方程组解得所以圆心坐标为C（1，2），半径，所以此圆的标准方程是将点分别代入中，得值分别为10,18，故点在圆上，点在圆外.【点评】 当圆心在直线上时,一般可阐述如下问题:该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心;该直线将圆平分为面积相等的两部分; 该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半为圆半径.本题的解决思路是利用圆的几何性质求解，充分利用圆的几何性质会更容易些。二与圆有关的轨迹问题 例3点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A.(x-2) 2+(y+1) 2=1 B.(x-2) 2+(y+1) 2=4C.(x+4) 2+(y-2) 2=4 D.(x+2) 2+(y-1) 2=1【答案】A点评：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.定义法：根据圆、直线等定义列方程.几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.此外还有交轨法、参数法等.不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键.三与圆有关的最值问题例4.求直线被圆C：截得的弦长的最小值和最大值，并求出相应的直线的方程。【分析】弦长的最大值是圆的直径，此时，直线过圆心；易知直线过定点M（0，1），所以圆心C到直线的距离，即d的最大值为|CM|，所以当时，弦长取得最小值，此时.【解析】把圆C的方程化为标准方程是，所以圆心为C（1，0），半径r=2，直线被圆C截得的弦长的最大值为2r=4，此时，直线过圆心C（1，0），所以0=k+1，所以k=-1，所以此时直线的方程为y=-x+1，易知直线过定点M（0，1），且点M在圆C内，所以圆心C到直线距离的最大值为，所以直线被圆C截得的弦长的最小值为，又因为当直线被圆C截得的弦长最小时，所以此时，所以直线的方程为y=x+1.【点评】过圆内某定点的弦的最大值为圆的直径，最小值为当圆心与定点的连线垂直于弦时的弦长。由垂径定理可知最短弦和最长弦是垂直的。圆的方程专项训练题一选择题（每小题6分，共60分）1. 已知圆的方程是，那么圆的圆心坐标是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 2. 圆和的位置关系是（ ）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】两圆圆心分别为O1（1，0），O2（0，2），r11，r22，|O1O2|，又1r2r1r1r23，故两圆相交，所以应选C.3. 经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为( ) A. B. C. D.【答案】A 【解析】 圆心坐标为(-2,3),所以直线方程为即.4. 若直线：被圆C：截得的弦最短，则k=（ ）。A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】A【解析】易知直线恒过定点A（0,1），要使截得的弦最短，需圆心（1,0）和A点的连线与直线垂直，所以。5. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是（ ）A. B. C. D.【答案】B 6. 已知圆C：x2+y24x4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（） A B C D 【答案】C【解析】当y=0时，得x24x=0，解得x=0或x=4，则AB=40=4，半径R=2，CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，ACB是直角三角形，ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C7直线l过点（4，0）且与圆交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为（ ）AB或CD或【答案】.B【解析】圆心坐标为（-1，2），半径R=5，根据垂径定理得圆心到直线的距离d=；当直线l斜率不存在时，显然满足|AB|=8，此时直线l的方程为。当直线l斜率存在时时，设方程为：y=k（x+4），化为一般式得：kx-y+4k=0根据圆心（-1，2）到直线的距离等于3得3=，解得k=-，所以方程为，所以选择B。点评：分类讨论思想是高考必考内容，平时学习时注意积累分类讨论的依据，何时讨论根据什么讨论。8. 设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小时P=（）A. 60° B. 45° C. 30° D. 120°【答案】A【解析】圆C：x2+y22x2y+1=0，即圆C：（x1）2+（y1）2=1，圆心坐标（1，1），半径为1；由题意过点P作圆C：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，9. 已知点P为圆C：上一点，C为为圆心，则（为坐标原点）的取值范围是：A. B. C. D. 【答案】.C【解析】由于圆C：，即，圆心C（， ，而， 而，则， 而，则，即，即， 因此，从而（为坐标原点）的取值范围为选C. 10若圆C：关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A. 2 B.3 C.4 D.6【答案】C二填空题（每小题6分，共18分）11. 设直线mxy30与圆相交于A、B两点，且弦长为2，则m_.【答案】0 【解析】 圆的半径为2，弦长为2，所以弦心距为1，即得，解得m0.12. 设过点的直线的斜率为，若圆上恰有三点到直线的距离等于1，则的值是.【答案】1或7【解析】由圆的方程得圆心坐标为（0，0），半径为2，由直线过点，且斜率为k，得到直线的方程为：，即，由题意得：圆心到直线l的距离，解得：k=1或k=7，则k的值是1或713. 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为【答案】（x+3）2+y2=4【解析】设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|，三.解答题14. 已知圆C经过A（5，2），B，且圆心C在直线x=3上（1）求圆C的方程；（2）求过D（0，1）点且与圆C相切的两条切线方程【解析】（1）圆心C在直线x=3上，设圆C的方程为（x3）2+（yb）2=R2圆C经过A（5，2），B，所以，解方程组得，设圆C的方程为（x3）2+（y2）2=4（2）当斜率不存在时，不存在经过D（0，1）的切线；当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y=kx+1解方程组，得（x3）2+（kx1）2=4，即（k2+1）x22（k+3）x+6=0方程有唯一一个解，=4（k+3）24×6（k2+1）=0，5k26k3=0，解方程得，切线方程15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD（1）若AC=4，求直线CD的方程；（2）证明：OCD的外接圆恒过定点（2）证明：OCD的外接圆恒过定点设C（3a，4a），1a0，则|AC|=5|a+1|=5（a+1），则|BD|=|AC|=5（a+1），则D（45a，0），解得E=10a3，F=0，D=5a4，则圆的一般方程为x2+y2+（5a4）x+（10a3）y=0，即x2+y24x3y+5a（x+2y）=0，由，解得或，即：OCD的外接圆恒过定点（0，0）和（2，1）