圆的方程热点题型和专项训练题-高一数学人教A版必修二---- 精校解析Word版
10页1、从近两年的高考试题来看,求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出了“小而巧”,主要考查圆的标准方程、一般方程,主观题往往在知识交汇处命题,除考查圆的标准方程、一般方程外,还考查待定系数法、方程思想等.一求圆的方程 例1已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .【分析】先由条件确定选用圆的标准方程,后由条件确定圆心坐标与半径.【答案】【点评】求圆的方程时,据条件选择合适的方程形式是关键.(1)当条件中给出的是圆上几点坐标,较适合用一般式,通过解三元一次方程组来得相应系数.(2)当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件,适合用标准式.例2:已知一圆经过点A(2,3)和B(2,5),且圆心C在直线:上,求此圆的标准方程,并判断点与该圆的位置关系;【分析】该圆的任何一条弦的垂直平分线也都经过圆心,于是弦AB的垂直平分线必和直线:相交于圆心;【解析】(1)因为A(2,3),B(2,5),所以线段AB的中点D的坐标为(0,4),又,所以线段AB的垂直平分
2、线的方程是联立方程组解得所以圆心坐标为C(1,2),半径,所以此圆的标准方程是将点分别代入中,得值分别为10,18,故点在圆上,点在圆外.【点评】 当圆心在直线上时,一般可阐述如下问题:该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心;该直线将圆平分为面积相等的两部分; 该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半为圆半径.本题的解决思路是利用圆的几何性质求解,充分利用圆的几何性质会更容易些。二与圆有关的轨迹问题 例3点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A.(x-2) 2+(y+1) 2=1 B.(x-2) 2+(y+1) 2=4C.(x+4) 2+(y-2) 2=4 D.(x+2) 2+(y-1) 2=1【答案】A点评:求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下做法:直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.定义法:根据圆、直线等定义列方程.几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.此外还有交轨法、参数法等.不论哪种方法,充分利用圆与圆的几何性质,找出动点与定点之间的关系是解题的关键.三与圆有关的最值问题例
3、4.求直线被圆C:截得的弦长的最小值和最大值,并求出相应的直线的方程。【分析】弦长的最大值是圆的直径,此时,直线过圆心;易知直线过定点M(0,1),所以圆心C到直线的距离,即d的最大值为|CM|,所以当时,弦长取得最小值,此时.【解析】把圆C的方程化为标准方程是,所以圆心为C(1,0),半径r=2,直线被圆C截得的弦长的最大值为2r=4,此时,直线过圆心C(1,0),所以0=k+1,所以k=-1,所以此时直线的方程为y=-x+1,易知直线过定点M(0,1),且点M在圆C内,所以圆心C到直线距离的最大值为,所以直线被圆C截得的弦长的最小值为,又因为当直线被圆C截得的弦长最小时,所以此时,所以直线的方程为y=x+1.【点评】过圆内某定点的弦的最大值为圆的直径,最小值为当圆心与定点的连线垂直于弦时的弦长。由垂径定理可知最短弦和最长弦是垂直的。圆的方程专项训练题一选择题(每小题6分,共60分)1. 已知圆的方程是,那么圆的圆心坐标是( )。 A. B. C. D. 【答案】C 2. 圆和的位置关系是( )A.相离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】两圆圆心分别为O1(1,0),O2
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