高等数学上同济大学第六版

考试说明,本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核作业成绩占考核成绩的20%，期末考试成绩占考核成绩的80%。期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分。,考核内容和考核要求,考核内容 一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数和常微分方程四个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、无穷级数、常微分方程等方面的知识,高等数学期末考试,考试题型：单选题5个（约15%）、 填空题5个（约15%），计算题6个,应用题1个。考试时间：90分钟 命题原则 不超过期末复习指导的要求，试题主要分布在第二、三、四、五、六、八章，占80%以上，理解占10%，掌握占90%。题型有：填空题单项选择题计算题（约70%）。 出题单位 中央广播电视大学 考试形式 闭卷,高等数学期末复习,第一章 函数,理解函数概念，掌握函数的两要素 ;定义域和对应关系，会判断两函数是否相同；掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性），知道它们的几何特点；熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形；了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；了解初等函数的概念；了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；会列简单应用问题的函数关系式。,高等数学期末复习,第二章 极限与连续,了解极限的概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道数列极限的“”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限；了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；了解函数连续性的定义，了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性；了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别函数间断点的类型；了解“初等函数在定义区间内连续”的结论，知道闭区间上的连续函数的几个性质。,高等数学期末复习,第三章 导数与微分,理解导数与微分概念（微分用 定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系； 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则； 熟练掌握复合函数的求导法则； 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法； 知道一阶微分形式的不变性； 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。,高等数学期末复习,第四章 导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式；掌握洛比塔法则，能用它求“ ”、“ ”型不定式极限；掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点；会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线； 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。,高等数学期末复习,第五章 不定积分,理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系； 熟练掌握积分基本公式和直接积分法； 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法； 掌握第二换元积分法。,高等数学期末复习,第六章 积分及其应用,了解定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质；了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数；熟练掌握牛顿莱布尼兹公式；掌握定积分的换元积分法和分部积分法；了解无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分；会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。,高等数学期末复习,第七章 无穷级数,了解级数收敛与发散概念及其主要性质；了解级数收敛的必要条件；掌握正项级数收敛性的比值判别法；知道几何级数和 级数收敛的条件；理解幂级数收敛半径概念，熟练掌握求收敛半径的方法；会求收敛区间。,高等数学期末复习,第八章 常微分方程,了解微分方程，阶，解（特解、通解），线性，初值问题等概念；掌握变量可分离微分方程的解法；熟练掌握一阶线性方程的解法；了解特征方程和特征根概念，熟练掌握求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法；掌握二阶线性常系数非齐次方程（特殊自由项）的特解待定系数法，能求此类方程的通解,高等数学期复习,第一章：函数,理解函数的概念；掌握函数,中符号f ( )的含义；,了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等,两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同,了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性,若对任意x，,有,则称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称,若对任意x，,有,则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称,熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形,基本初等函数指以下几种类型：,常数函数:,幂函数：,指数函数：,对数函数：,三角函数：,反三角函数：,了解复合函数、初等函数的概念，,会把一个复合函数分解成较简单的函数,如函数,可以分解,分解后的函数前三个都是基本初等函数，,而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积,会列简单的应用问题的函数关系式,高等数学1,综合练习,一、填空题,设,则,解：,设,则,得,故,函数,的定义域是,解：,对函数的第一项，,要求,且,即,且,对函数的第二项，要求,即,取公共部分，得函数定义域为,高等数学1,设,的定义域为,则函数,的图形关于对称,解：设,则对任意,有,即,是偶函数，,故图形关于,轴对称,高等数学1,二、单项选择题,下列各对函数中，（）是相同的,A.,B.,C.,D.,解,A, B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，,而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确,设函数,的定义域为,，则函数,（）对称,的图形关,于,A.,B.,轴,C.,轴,D.坐标原点,解：,设,则对任意,有,高等数学1,即,是奇函数，,故图形关于原点对称选项D正确,3设函数,的定义域是全体实数，,则函数,是（）,A.单调减函数；,B.有界函数；,C.偶函数；,D.周期函数,解：,A, B, D三个选项都不一定满足。,设,则对任意,有,即,是偶函数，,故选项C正确,高等数学1,三、计算题,求下列函数的定义域：,解：, 对,要求,即,对,要求,且,即,且,取公共部分，,得函数定义域为,对,要求,即,得函数定义域为,对,要求,即,得函数定义域为,已知,求,解：,方法一：,设,则,得,即,由此得,方法二：,将,看作新的变量，,得,同理,高等数学1,高等数学1,判断下列函数的奇偶性：,解：,对任意,有,可知,是奇函数,解：,对任意,有,可知,是奇函数,解：,对任意,有,可知,是偶函数,高等数学1,本章重点：,函数概念及其性质,理解函数的概念，了解决定函数的要素是定义域和对应关系，,能根据这两个要素,判别两个函数是否相等。,能熟练地求出函数的定义域和函数值。,了解函数的周期性、奇偶性、单调性、和有界性，,特别是要会判断函数的奇偶性。,例1、求下列函数的定义域,（1）,解,函数的定义域是,解得,即函数的定义域是,且,高等数学1,（2）,解,分段函数的定义域是所有定义区间的并集，,此分段函数的定义域是,或,但,的定义域是,故综合起来可知所求函数的定义域是,例2、,若函数,求,解,已知,即,根据函数概念可知,（即下划线的部分替换成x）,（即下划线的部分替换成 ）,（即下划线的部分替换成0）,高等数学1,规范以上的做法就是：,设,则,将,代入,中，即有,令,则有,令,则有,令,则有,例3、,（1）下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？,A,B,C,D,解,A,B,D中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，,高等数学1,C中函数,的定义域是,对应关系可化为,故这两个函数是相同的函数。,（2）下列函数中，哪个函数是奇函数？,A,B,C,D,解,由奇函数的定义验证A,C可知它们都不满足,D满足,即它为偶函数,验证B,故此函数是奇函数。,高等数学1,2.基本初等函数,了解复合函数、初等函数的概念，,会分析复合函数的复合过程，,能把一个复合函数分解成几个简单函数。,(这在学习第三章导数与微分内容时要用到),如将函数,分解成,高等数学1,第2章 极限与连续,本章重点：,极限的计算,了解极限的概念，知道左右极限的概念，,知道函数在点,处存在极限的充分必要,条件是,在,处的左右极限存在且相等。,关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：,（1）极限的四则运算法则：,运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，,且分母不为0。,当所求极限不满足条件时，,常根据函数的具体情况进行分解因式,（以消去,零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、,或分子分母同时除以,（分子分母同,趋于无穷大时）,等变形手段，,以使函数满足四则运算法则的条件。,（2）两个重要极限：,熟记,要注意这两个公式自变量的,变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式：,高等数学1,（3）利用无穷小的性质计算：,无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、,积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。,（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。,（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。,例1：求下列极限,解,（1）,分子、分母同除以,则,高等数学1,（2）,解,首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算,（3）,解,由于,时，有,因此,还是无穷小量，故,高等数学1,（4）,解,（5）,解,（6）,解,高等数学1,2、函数连续,理解函数在一点连续的概念，,它包括三层含义：,在,的一个邻域内有定义；,在,处存在极限；,极限值等于,在,处的函数值，,这三点缺一不可。,若函数,在,至少有一条不满足上述三条，,则函数在该点是间断的，,会求函数的间断,点。,了解函数在区间上连续的概念，,由函数在一点连续的定义，,会讨论分段函数的连续性。,知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，,两个连续函数的复合仍为,连续函数，,初等函数在其定义域内是连续函数。,知道闭区间上连续函数的性质（最大最,小值存在定理、零点定理、介值定理）。,例2,讨论函数,在,处的连续性。,高等数学1,解,的定义域为,由于,在,点处的左右极限不相等，,故极限不存在，,因此函数,在,点间断。,第三章：导数与微分,高等数学1,理解导数的概念；,