高考试题）新人教a版69

镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点22 数列求和及综合应用1、 选择题1.(2016·浙江高考文科·T8)同(2016·浙江高考理科·T6)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*(PQ表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.Sn是等差数列B. 是等差数列C.dn是等差数列D. 是等差数列【解析】选A.先求出三角形的面积,再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列.作A1C1,A2C2,A3C3,AnCn,垂直于直线B1Bn,垂足分别为C1,C2,C3,Cn,则A1C1A2C2AnCn,因为|AnAn+1|=|An+1An+2|,所以|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|,设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,则|A3C3|=2b-a,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n3),所以Sn=c(n-1)b-(n-2)a=c(b-a)n+(2a-b),所以Sn+1-Sn=c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)=c(b-a),又S1=ac,S2=bc,S3=c(2b-a),S2-S1=c(b-a),S3-S2=c(b-a),所以数列Sn是等差数列.2、 填空题2.(2016·浙江高考理科·T13)设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.【解题指南】根据已知条件利用数列的有关知识求解.【解析】由题意得,a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,再由an+1=2Sn+1,an=2Sn1+1(n2),所以an+1-an=2an,an+1=3an,又a2=3a1,所以an+1=3an(n1),S5=121.答案:11213、 解答题3.(2016·全国卷高考文科·T17)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式.(2)求bn的前n项和.【解析】(1)因为anbn+1+bn+1=nbn,所以a1b2+b2=b1,解得a1=2.又an是公差为3的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,即an=3n-1.(2)由anbn+1+bn+1=nbn得=,所以数列bn是首项b1=1,公比q=的等比数列,所以bn的前n项和为Sn=.4.(2016·全国卷·文科·T17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3.(2)求an的通项公式.【解析】(1)由题意可得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以.故an是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.5.(2016·浙江高考理科·T20)设数列an满足1,nN*.(1)证明:|an|2n-1(|a1|-2),nN*.(2)若|an|,nN*,证明:|an|2,nN*.【解题指南】(1)先利用三角形不等式得|an|-|an+1|1,变形为,再用累加法可得,进而可证|an|2n-1(|a1|-2).(2)由(1)可得,进而可得|an|<2+·2n,再利用m的任意性可证|an|2.【解析】(1)由1,得|an|-|an+1|1,所以,nN*.所以.因此|an|2n-1(|a1|-2).(2)任取nN*,由(1)知,对于任意m>n,故|an|<·2n·2n=2+·2n.从而对于任意m>n,均有|an|<2+2n,由m的任意性得|an|2.否则,存在n0N*,有|>2,取正整数m0>lo且m0>n0,则<=|-2,与式矛盾,综上所述,对于nN*,均有|an|2.6.(2016·浙江高考文科·T17)设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.(1)求通项公式an.(2)求数列|an-n-2|的前n项和.【解题指南】(1)数列的基本计算.(2)利用数列中的分组法进行求和.【解析】(1)由题意得则又当n2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,所以数列an是以1为首项,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,nN*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,b1=2,b2=1,当n3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n3,设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3,当n3时,Tn=3+,当n=2时,也适合上式.所以Tn=7.(2016·天津高考理科·T18)(本小题满分13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=,nN*,求证:数列cn是等差数列.(2)设a1=d,Tn=,nN*,求证:.【解题指南】(1)利用等差数列的定义求证.(2)利用bn是an和an+1的等比中项化简并得出Tn的通项公式,然后利用裂项法求证结论.【证明】(1)cn=an+1an+2-anan+1=2d·an+1.cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2为定值.所以为等差数列.(2)由已知c1=a2a3-a1a2=2d·a2=2d(a1+d)=4d2,将c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),所以=,得证.8.(2016·天津高考文科·T18)(本小题满分13分)已知是等比数列,前n项和为Sn,且,S6=63.(1)求的通项公式.(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列的前2n项和.【解题指南】(1)利用求出公比q,代入S6=63求出a1.(2)利用等差中项求出bn,然后利用分组求和法求和.【解析】(1)设数列的公比为q,由已知,解得q=2或-1,又由S6=63知q-1,所以=63,解得a1=1,所以an=2n-1.(2)由题意得bn= (log2an+log2an+1)= (log22n-1+log22n)=n-,即数列是首项为,公差为1的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为Tn,则9.(2016·北京高考理科·T20)设数列A:a1,a2,aN(N2).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ak<an,则称n是数列A的一个“G时刻”.记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素.(2)证明:若数列A中存在an使得an>a1,则G(A).(3)证明:若数列A满足an-an-11(n=2,3,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1.【解析】(1)G(A)的元素为2和5.(2)因为存在an使得an>a1,所以iN*|2iN,ai>a1.记m=miniN*|2iN,ai>a1,则m2,且对任意正整数k<m,aka1<am,因此mG(A).从而G(A).(3)当aNa1时,结论成立.以下设aN>a1.由(2)知G(A).设G(A)=n1,n2,np,n1<n2<<np.记n0=1,则.对i=0,1,p,记Gi=kN*|ni<kN,ak>.如果Gi,取mi=minGi,则对任何1k<mi,ak.从而miG(A)且mi=ni+1,又因为np是G(A)中的最大元素,所以Gp=.从而对任意npkN,ak,特别地,aN.对i=0,1,p-1,-1,因此=-1+(-1)+1.所以aN-a1-a1=(-)p.因此G(A)的元素个数p不小于aN-a1.10.(2016·北京高考文科·T15)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式.(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.【解题指南】(1)利用等差、等比数列的基本量进行计算.(2)采用分组求和法.【解析】(1)bn的公比q=3,首项b1=1,所以bn的通项bn=3n-1.所以an的首项a1=1,a14=b4=34-1=27,由a14=1+13d=27得,公差d=2,所以an的通项an=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)得cn=(2n-1)+3n-1.所以数列cn的前n项和Sn为Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=+=n2+.按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任。党组织书记是第一责任人