高考试题）新人教a 版43
镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点35直线与圆锥曲线的位置关系一、解答题1.(2016·全国卷理科·T20)已知椭圆E: =1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.【解题指南】(1)当t=4时,椭圆方程是确定的,又|AM|=|AN|,可利用弦长公式将|AM|,|AN|用k表示出来,从而建立k的方程,解方程可求k,进而可求三角形的面积.(2)利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,整理可得t和k的关系,利用椭圆的焦点在x轴上这一隐含条件,建立k的不等式,解不等式,可求得取值范围.【解析】(1)当t=4时,椭圆E的方程为=1,A点坐标为(-2,0),则直线AM的方程为y=k(x+2).联立并整理得,(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,解得x=-2或x=-,则|AM|=因为AMAN,所以|AN|=.因为|AM|=|AN|,k>0,所以,整理得(k-1)(4k2+k+4)=0,4k2+k+4=0无实根,所以k=1.所以AMN的面积为.(2)直线AM的方程为y=k(x+),联立并整理得,(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0,解得x=-或x=-,所以|AM|=,同理可求|AN|=,因为2|AM|=|AN|,所以2·=,整理得,t=.因为椭圆E的焦点在x轴,所以t>3,即>3,整理得<0,解得<k<2.2.(2016·全国卷文科·T21)已知A是椭圆E: =1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时,证明: <k<2.【解题指南】(1)设出点(x1,y1)的坐标,由已知条件可得点的坐标,进而可得的面积.(2)利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,得到关于k的方程,利用函数的单调性确定k的取值范围.【解析】(1)设(x1,y1),则由题意知y1>0,由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,将x=y-2代入=1,得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此AMN的面积为2×××=.(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0),代入=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,由x1·(-2)=,得x1=-,故|AM|=|x1+2|=,由题意设直线AN的方程为y=- (x+2),故同理可得|AN|=,由2|AM|=|AN|,得,即4k3-6k2+3k-8=0,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)上单调递增,又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+)上有唯一的零点,且零点k在(,2)内,故<k<2.3.(2016·山东高考理科·T21)平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程.(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证:点M在定直线上;直线l与y轴交于点G,记PFG的面积为S1,PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解题指南】(1)由抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b=,再由离心率可求a.(2)设出P点坐标,表示出直线l的方程,与椭圆方程联立,可求D点坐标,表示出直线OD的方程,进而可求M点纵坐标,得以解决;结合三角形相似和基本不等式可解决.【解析】(1)由题意F点的坐标为,所以b=,又e=,所以,易得a2=4b2=1,于是椭圆C的方程为x2+4y2=1.(2)设P(2t,2t2),则直线l的斜率kl=2t,直线l的方程为:y-2t2=2t(x-2t),即y=2tx-2t2,将其与x2+4y2=1联立得, x2-32t3x+16t4-1=0,则x1+x2=,y1+y2=2t(x1+x2)-4t2=.所以D,所以kOD=-,可得直线OD的方程为:y=-,由题意,xM=2t,所以yM=,所以点M在定直线y=-上.由图可知,|OG|=2t2,|FG|=2t2+,所以S1=,SDOG=.显然,DPM与DGO相似,所以S2=.所以.当且仅当8t2+2=16t2+1,即t=时,取等号.所以的最大值为,取得最大值时点P的坐标为.4.(2016·山东高考文科·T21)已知椭圆C: =1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.(1)求椭圆C的方程.(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明为定值.求直线AB的斜率的最小值.【解题指南】(1)由长轴长为4,焦距为2,可得a=2,c=,方程易得.(2)设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k',它们之比易得;借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键.【解析】(1)由题意a=2,c=,所以b2=2,所以椭圆方程为=1.(2)由题意,设P,则Q(p,-2m),所以=-3为定值.直线PA的斜率k=,其中0<m2<,所以k>0.将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得, x2+4Kmx+2m2-4=0.设A,B,直线PA:y=kx+m,直线QB:y=-3kx+m,分别令K=k,K=-3k可得:x1p=,x2p=,所以,kAB= (当且仅当k=时取等号).所以,直线AB的斜率的最小值为.5.(2016·天津高考理科·T19)(本小题满分14分)设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程.(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.【解题指南】(1)利用得出a的值,进而得到椭圆的方程.(2)设出直线l的点斜式方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系用直线l的斜率k表示出点B的坐标,利用垂直关系设出HM的方程,求出H点的坐标,利用HFFB表示出M点的坐标,由MOAMAO知M点的横坐标大于等于1,解不等式即可.【解析】(1)由题意,如图所示:已知,所以解得a=2,所以椭圆方程为: =1.(2)由已知,设l斜率为k(k0),方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),M(x0,k(x0-2),x01(MOAMAO),H(0,yH),与椭圆的方程联立可得整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,>0成立由根与系数的关系得2·xB=,所以xB=,yB=k(xB-2)=,lHM:y-k(x0-2)=- (x-x0),令x=0,得yH=x0-2k,因为HFFB,所以=(-1,yH)·(xB-1,yB)=0,即1-xB+yHyB=1-=0,所以x0=1,所以8k23,所以k或k-.所以直线l的斜率的取值范围为(-,U,+ )6.(2016·天津高考文科·T19)(本小题满分14分)设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A,已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程.(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.【解题指南】(1)利用得出a的值,进而得到椭圆的方程.(2)MOA=MAOMA=MO,所以M在OA的中垂线上,所以xM=1,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B点坐标,利用两直线方程组求H,最后根据BFHF,列等量关系解出直线斜率.【解析】(1)由题意,如图所示已知,所以,解得a=2,所以椭圆方程为: =1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2),设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=,由题意得xB=,从而yB=,由(1)知F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=,由HFFB,得=0,所以=0,解得yH=,因此直线MH的方程为y=-,设M(xM,yM),由方程组消去y,得xM=,在MAO中,MOA=MAOMA=MO,即(xM-2)2+=+,化简得xM=1,即=1,解得k=-或,所以直线l的斜率为-或.7.(2016·北京高考文科·T19)已知椭圆C:过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率.(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【解题指南】(1)把A,B两点代入可求得a,b.(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.因为c=,所以离心率e=.(2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1.所以M,N.所以|AN|=2+,|BM|=+1.所以四边形ABNM的面积为S=|AN|BM|=.因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得S =2.因此,四边形ABNM的面积为定值2.按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任。党组织书记是第一责任人
