高考试题）新人教a 版18
镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点30 立体几何中的向量方法一、解答题1.(2016·全国卷高考理科·T18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF平面EFDC.(2)求二面角E-BC-A的余弦值.【解析】(1)因为ABEF为正方形,所以AFEF.因为AFD=90°,所以AFDF.因为DFEF=F,所以AF面EFDC,AF面ABEF,所以平面ABEF平面EFDC.(2)由(1)知DFE=CEF=60°.因为ABEF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,所以EF平面ABCD,AB平面ABCD.因为面ABCD面EFDC=CD,所以ABCD,所以CDEF,所以四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,如图建立坐标系,设FD=a,E(0,0,0),B(0,2a,0),C,A(2a,2a,0),=(0,2a,0),=,=(-2a,0,0).设平面BEC的法向量为m=(x1,y1,z1).即令x1=,则m=(,0,-1).设平面ABC法向量为n=(x2,y2,z2),即令y2,则n=(0, ,4).设二面角E-BC-A的大小为.cos=-,所以二面角E-BC-A的余弦值为-.2.(2016·全国卷理科·T19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到D'EF的位置,OD'=.(1)证明:D'H平面ABCD.(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.【解题指南】这是一道折叠问题,注意图形折叠前后变化和不变化的量.(1)要证线面垂直,只需证线线垂直.易证EFHD',只需证明OHHD',利用勾股定理证明即可.(2)由(1)知,D'H平面ABCD,可建立空间直角坐标系求二面角的正弦值.【解析】(1)因为AE=CF=,所以,所以EFAC.因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD,所以EFBD,所以EFDH,所以EFD'H.因为AC=6,所以AO=3;又AB=5,AOOB,所以OB=4,所以OH=·OD=1,所以DH=D'H=3,所以|OD'|2=|OH|2+|D'H|2,所以D'HOH.又因为OHEF=H,所以D'H平面ABCD.(2)建立如图所示的坐标系,设二面角B-D'A-C的平面角为.B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,-3,0),=(4,3,0), =(-1,3,3), =(0,6,0),设平面ABD'的法向量为n1=(x,y,z),由得取所以n1=(3,-4,5).设平面ACD'的法向量为n2=(a,b,c),由得取所以n2=(3,0,1),所以|cos|=,所以sin=.3.(2016·全国卷·理科·T19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN平面PAB.(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【解析】(1)由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TNAM,TN=AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)取BC的中点F,连接AF.由AB=AC得AFBC,从而AFAD且AF=,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向,建立空间直角坐标系,由题意可得P,M,C,N,所以,设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则即可取n=,所以cos<n, ,所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.4.(2016·天津高考理科·T17)(本小题满分13分)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG平面ADF.(2)求二面角O-EF-C的正弦值.(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【解题指南】(1)取AD的中点I,连接FI,证明EGFI.(2)建立空间直角坐标系,求平面CEF与平面OEF的法向量所成的角.(3)利用空间直角坐标系求与平面CEF的法向量所成的角的余弦值即可.【解析】(1)取AD的中点I,连接FI,因为四边形OBEF为矩形,所以EFOB,因为G,I分别是AB,AD的中点,所以GI是ABD的中位线,所以GIBD且GI=BD,因为O是正方形ABCD的中心,所以OB=BD,所以EFGI且EF=GI,所以四边形EFIG是平行四边形,所以EGFI.因为FI平面ADF,所以EG平面ADF.(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz,则B,C,E,F,设平面CEF的一个法向量为n1=,则令z=1,得: 所以n1=,因为OC平面OEF,所以平面OEF的一个法向量为n2=,sin<n1,n2>=.(3)因为AH=HF,所以,设H,所以,得:即H,所以,.所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任。党组织书记是第一责任人
