2017-2018年高一数学新人教a版必修1习题点拨素材：3.1 函数与方程

教材习题点拨教材问题详解思考一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与二次函数yax2bxc0(a0)的图象有什么关系？答：设b24ac，则有：(1)当0时，一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)(2)当0时，一元二次方程ax2bxc0有两个相等实根x1x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)(3)当0时，一元二次方程ax2bxc0无实根，相应的二次函数的图象与x轴无交点探究观察二次函数f(x)x22x3的图象，我们发现函数f(x)x22x3在区间2,1上有零点计算f(2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？答：可以发现f(2)·f(1)0，函数f(x)x22x3在区间(2,1)内有零点x1，它是方程x22x30的一个根同样地，f(2)·f(4)0，函数f(x)x22x3在区间(2,4)内有零点x3，它是方程x22x30的另一个根问题你能给出这个函数是增函数的证明吗？答：设0x1x2，则有f(x1)f(x2)(lnx12x16)(lnx22x26)(lnx1lnx2)(2x12x2)ln2(x1x2)0x1x2，01，x1x20ln0f(x1)f(x2)函数f(x)lnx2x6在定义域上是增函数教材习题详解练习1解：分别画出四个函数的图象如下图从图象可以看出，方程(1)有两个根，方程(2)没有根，方程(3)有一个根，方程(4)有两个根点拨：作函数大致图象时，一般从开口方向、对称轴与y轴交点几个方面来确定2解：(1)f(x)x33x5的图象如图(1)，其零点在区间(1,2)内(2)f(x)2x·ln(x2)3的图象如图(2)，其零点在区间(3,4)内(3)f(x)ex14x4的图象如图(3)，其零点在区间(0,1)内(4)f(x)3(x2)(x3)(x4)x的图象如图(4)，其中一个零点在区间(4，3)，一个零点在(3，2)内，一个零点在(2,3)内教材问题详解思考一元二次方程可以用公式求根，但没有公式用来求方程lnx2x60的根联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？答：一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量地缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内；再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)0.512，因为f(2.75)f(2.5)0，所以零点在(2.5,2.75)内；由于(2,3)，(2.5,3)，(2.5,2.75)越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01，所以我们可以将x2.54作为函数f(x)lnx2x6零点的近似值，也就是方程lnx2x60的根的近似值问题为什么由|ab|，可知，区间a，b中任意一个值都是零点x0的满足精确度的近似值答：设函数零点为x0，则ax0b，则0x0aba，abx0b0，由于|ab|，所以|x0a|ba，|x0b|ab|，即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度教材习题详解练习1解：f(0)1.40，f(1)1.60，在区间(0,1)内用二分法计算如下表：区间中点的值中点函数近似值(0,1)0.50.55(0.5,1)0.750.315 625(0.5,0.75)0.6250.163 671 875(0.625,0.75)0.687 50.061 373 046(0.625,0.687 5)|0.687 50.625|0.062 50.1，函数f(x)在(0,1)内的零点的近似值为0.625.点拨：求函数在规定区间内的零点，就是将区间不断地一分为二，取两端函数值异号的区间的中点，直到该区间的长度不大于精确度，那么该区间中点的自变量，即为函数的近似零点2解：令f(x)xlgx3，则f(2)2lg230.699 00，f(3)3lg330.477 10，在区间(2,3)内用二分法计算如下表：区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.102 059 991(2.5,3)2.750.189 332 693(2.5,2.75)2.6250.044 129 307(2.5,2.625)2.562 50.028 836 125(2.562 5,2.625)|2.6252.562 5|0.062 50.1，函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值为2.562 5方程x3lgx在区间(2,3)内的近似解为2.562 5点拨：求方程的近似解时，首先将方程变形，得到对应的函数，用二分法求函数的零点，即得方程的近似解习题3.1A组1(A)，(C)点拨：能用二分法求的零点必须是变号零点，即在该点的两侧，函数值的符号相反，也即函数图象在此点处穿过x轴2解：函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)三个区间内有零点理由：f(x)的图象连续，且f(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0，f(4)·f(5)0，根据定理知此三个区间内有零点点拨：连续函数f(x)在(a，b)上满足f(a)·f(b)0，则函数f(x)在(a，b)内至少有一个零点，并且这个零点可用二分法求得3解：由(x1)(x2)(x3)1，得x34x2x50，令f(x)x34x2x5，则f(1)10，f(0)50在区间(1,0)内用二分法计算如下表：区间中点的值中点函数近似值(1,0)0.53.375(1，0.5)0.751.578 125(1，0.75)0.8750.392 578 125(1，0.875)0.937 50.277 099 609(0.937 5，0.875)|(0.875)(0.937 5)|0.062 50.1，函数f(x)在(1,0)内的零点的近似值为0.937 5方程(x1)(x2)(x3)1在区间(1,0)内的近似解为0.937 54解：由方程0.8x1lnx，得0.8xlnx10令f(x)0.8xlnx1，则f(1)0.20，f(0.5)0.587 60在区间(0.5,1)上用二分法计算如下表：区间中点的值中点函数近似值(0.5,1)0.750.133 579 083(0.75,1)0.8750.043 840 131(0.75,0.875)0.812 50.041 820 98(0.812 5,0.875)|0.8750.812 5|0.062 50.1，函数f(x)在(0,1)内的零点的近似值为0.812 5方程0.8x1lnx在(0,1)内的近似解为0.812 55解：f(2)ln210.306 850，f(3)ln30.431 950，在区间(2,3)上用二分法计算如下表：区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.116 290 731(2,2.5)2.250.077 958 672(2.25,2.5)2.3750.022 892 174(2.25,2.375)2.312 50.026 535 674(2.312 5,2.375)|2.3752.312 5|0.062 50.1，函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值为2.343 75B组1解：由2x23x10，得x令f(x)2x23x1，则f(1)40，f(0)10，f(1)20，f(2)10f(1)·f(0)0，f(1)·f(2)0，即函数的两个零点分别在区间(1,0)和(1,2)内分别在(1,0)和(1,2)内用二分法计算如下表：区间中点的值中点函数近似值(1,0)0.51(0.5,0)0.250.125(0.5，0.25)0.3750.406 25(0.375，0.25)0.312 50.132 812 5(0.312 5，0.25)(1,2)1.51(1.5,2)1.750.125(1.75,2)1.8750.406 25(1.75,1.875)1.812 50.132 812 5(1.75,1.812 5)|0.25(0.312 5)|0.062 50.1，|1.812 51.75|0.062 50.1，函数f(x)的两个零点的近似值分别是0.312 5和1.75方程2x23x10的近似解为0.312 5和1.752解：方程x356x23x可化为x36x23x50，令f(x)x36x23x5，则f(0)5，f(1)3，f(6)130，f(7)330，f(2)210，f(1)10因此函数f(x)在区间(2，1)，(0,1)，(6,7)上各有一个零点在这三个区间上分别用二分法计算如下表：区间中点的值中点函数近似值(2，1)1.57.375(1.5，1)1.252.578 125(1.25，1)1.1250.642 578 125(1.125，1)1.062 50.214 599 609(1.125，1.062 5)(0,1)0.52.125(0.5,1)0.750.203 125(0.5,0.75)0.6251.025 390 625(0.625,0.75)0.687 50.426 513 671(0.687 5,0.75)(6,7)6.56.625(6,6.5)6.253.984 375(6.25,6.5)6.3751.115 234 375