2017-2018年高一数学新人教a版必修1习题点拨素材:3.1 函数与方程
7页1、教材习题点拨教材问题详解思考一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与二次函数yax2bxc0(a0)的图象有什么关系?答:设b24ac,则有:(1)当0时,一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根x1,x2,相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)(2)当0时,一元二次方程ax2bxc0有两个相等实根x1x2,相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)(3)当0时,一元二次方程ax2bxc0无实根,相应的二次函数的图象与x轴无交点探究观察二次函数f(x)x22x3的图象,我们发现函数f(x)x22x3在区间2,1上有零点计算f(2)与f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间2,4上是否也具有这种特点呢?答:可以发现f(2)f(1)0,函数f(x)x22x3在区间(2,1)内有零点x1,它是方程x22x30的一个根同样地,f(2)f(4)0,函数f(x)x22x3在区间(2,4)内有零点x3,它是方程x22x30的另一个根问题你能给出这个函数是增函数的证明吗?答:设0x1x2,则有f(x1)f(x2)(lnx12x16)(lnx22x26)(lnx
2、1lnx2)(2x12x2)ln2(x1x2)0x1x2,01,x1x20ln0f(x1)f(x2)函数f(x)lnx2x6在定义域上是增函数教材习题详解练习1解:分别画出四个函数的图象如下图从图象可以看出,方程(1)有两个根,方程(2)没有根,方程(3)有一个根,方程(4)有两个根点拨:作函数大致图象时,一般从开口方向、对称轴与y轴交点几个方面来确定2解:(1)f(x)x33x5的图象如图(1),其零点在区间(1,2)内(2)f(x)2xln(x2)3的图象如图(2),其零点在区间(3,4)内(3)f(x)ex14x4的图象如图(3),其零点在区间(0,1)内(4)f(x)3(x2)(x3)(x4)x的图象如图(4),其中一个零点在区间(4,3),一个零点在(3,2)内,一个零点在(2,3)内教材问题详解思考一元二次方程可以用公式求根,但没有公式用来求方程lnx2x60的根联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求它的根呢?答:一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量地缩小,那么在一定的精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值为了方便,我们通过“取中点”的方法
3、逐步缩小零点所在的范围取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)0.084,因为f(2.5)f(3)0,所以零点在区间(2.5,3)内;再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)0.512,因为f(2.75)f(2.5)0,所以零点在(2.5,2.75)内;由于(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实越来越小了;重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复相同的步骤后,在一定的精确度下,将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值,特别地可以将区间的端点作为零点的近似值例如,当精确度为0.01时,由于|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01,所以我们可以将x2.54作为函数f(x)lnx2x6零点的近似值,也就是方程lnx2x60的根的近似值问题为什么由|ab|,可知,区间a,b中任意一个值都是零点x0的满足精确度的近似值答:设函数零点为x0,则ax0b,则0x0aba,abx0b0,由于|ab|,所以|x0a|ba,|x0b|ab|,即a或b作为零点x0的近似值
4、都达到了给定的精确度教材习题详解练习1解:f(0)1.40,f(1)1.60,在区间(0,1)内用二分法计算如下表:区间中点的值中点函数近似值(0,1)0.50.55(0.5,1)0.750.315 625(0.5,0.75)0.6250.163 671 875(0.625,0.75)0.687 50.061 373 046(0.625,0.687 5)|0.687 50.625|0.062 50.1,函数f(x)在(0,1)内的零点的近似值为0.625.点拨:求函数在规定区间内的零点,就是将区间不断地一分为二,取两端函数值异号的区间的中点,直到该区间的长度不大于精确度,那么该区间中点的自变量,即为函数的近似零点2解:令f(x)xlgx3,则f(2)2lg230.699 00,f(3)3lg330.477 10,在区间(2,3)内用二分法计算如下表:区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.102 059 991(2.5,3)2.750.189 332 693(2.5,2.75)2.6250.044 129 307(2.5,2.625)2.562 50.028 836 125(2.
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