2017-2018年高一数学新人教a版必修1习题点拨素材：1.1 集合

教材习题点拨教材问题详解思考1上面的例(3)到例(8)也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？答：例(3)到例(8)也都能组成集合例(3)的元素：金星汽车厂2003年生产的每一辆汽车；例(4)的元素：2004年1月1日之前与我国建立外交关系的每一个国家；例(5)的元素：每个正方形；例(6)的元素：到直线l的距离等于定长d的每一个点；例(7)的元素：方程x23x20的每个实数根，即与；例(8)的元素：新华中学2004年9月入学的每个高一学生思考2判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流答：(1)大于3小于11的偶数能组成集合，这个集合的元素是4,6,8,10(2)我国的小河流不能组成集合，因为小河流没有明确的标准，不符合集合元素的确定性，所以不能组成集合思考3(1)你能用自然语言描述集合2,4,6,8吗？(2)你能用列举法表示不等式x73的解集吗？答：(1)能小于10的所有正偶数组成的集合，或大于1且小于9的所有偶数组成的集合(答案不唯一)(2)不能因为不等式x73的解是x10，小于10的实数有无数个，并且这些数是连续的，所以不能用列举法表示列举法适用于表示元素个数是有限个且较少的集合思考4(1)结合上述实例，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象(2)自己举出几个集合的例子，并分别用自然语言、列举法、描述法表示出来答：(1)自然语言的特点是富有表现力，是最基本的语言形式，但是具有多义性，有时难于表达，适用的范围非常广泛；列举法的特点是直观、明白，但有局限性，适用于元素个数较少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于所含元素较多的有限集或无限集(2)例如，自然语言：联合国常任理事国；列举法：中国，美国，英国，法国，俄罗斯；描述法：x|x是联合国常任理事国教材习题详解练习1答案：(1)，；(2)；(3)；(4)，点拨：看一个对象是否属于某个集合，就要看它是否具备该集合中元素所共有的特征性质2答案：(1)3，3；(2)2,3,5,7；(3)(1,4)；(4)x|x2点拨：当一个集合的元素个数较少时，可用列举法表示，如果元素个数较多或有无穷多个时，一般要用描述法表示如果元素可以有规律地呈现，也可以写出一部分，其他用省略号代替，即用列举法表示有较多元素或无穷元素的集合教材问题详解思考1实数有相等关系、大小关系，如55，57，53，等等类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？答：可以想到集合之间有相等关系、包含关系；一个集合中的元素个数少于另一个集合中的元素个数，并且这个集合中的任何一个元素都在另一个集合中；一个集合中的元素个数多于另一个集合中的元素个数，并且这个集合中的元素包含另一个集合中的所有元素思考2包含关系aA与属于关系aA有什么区别？试结合实例作出解释答：区别是包含关系aA是集合之间的关系，而属于关系aA是元素与集合之间的关系例如：包含关系20,1,2,3与属于关系20,1,2,3，20,1,2,3表示集合2包含于集合0,1,2,3，而20,1,2,3表示元素2属于集合0,1,2,3教材习题详解练习1答案：集合a，b，c的所有子集为，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c点拨：如果一个集合有n个元素，则其子集的个数为2n，在书写时可从元素个数为0一直到n依次写出，避免遗漏2答案：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)点拨：元素与集合之间用“”或“”连接，集合之间则用“”或“”或“”连接3答案：(1)AB；(2)BA；(3)点拨：判断两个集合间的关系，关键是看这两个集合的元素的关系，如(1)中A1,2,4，Bx|x是8的约数1,2,4,8从而可判定AB教材问题详解思考1我们知道，实数有加法运算类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？(1)A1,3,5，B2,4,6，C1,2,3,4,5,6；(2)Ax|x是有理数，Bx|x是无理数，Cx|x是实数答：集合也可以“相加”这两个问题中，集合C与集合A，B之间都具有这样的关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的思考2下列关系式成立吗？(1)AAA；(2)AA答：这两个关系式都成立可以画Venn图验证或根据并集的含义说明思考3下列关系式成立吗？(1)AAA；(2)AA答：关系式AAA成立，而关系式AA不成立，应为A可以画Venn图验证或根据交集的含义说明教材习题详解练习1解：AB5,8，AB3,4,5,6,7,8点拨：观察两个集合中的公共元素和全部元素，列出即得交集与并集，注意集合中元素的互异性2解：由题意可知A1,5，B1，1，于是AB1,1,5，AB1点拨：解方程化简集合，转化为第1小题的形式3解：ABx|x是等腰直角三角形，ABx|x是等腰三角形或直角三角形点拨：交集要同时具备两个集合的元素特征，并集则具备两个集合中任何一个的元素特征即可4解：A(UB)2,4，(UA)( UB)6点拨：首先求出UA和UB，再按交集定义求解习题1.1A组1答案：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)点拨：是无理数，3是整数，()25是自然数2答案：(1)；(2)；(3)点拨：令5,7，10分别等于3k1，看能否解出整数k若能，则该元素属于A；否则不属于A3答案：(1)2,3,4,5；(2)1，2；(3)0,1,2点拨：列举法表示集合时，一定要把所有元素列全，不能遗漏，对于复杂的不等式可先化简4答案：(1)y|yx24，xR；(2)x|x0；(3)x|x点拨：本类题一定要注意集合中的代表元素的表达形式，许多的集合可以有不同的表示形式5答案：(1)，；(2)，；(3)，点拨：所有的菱形都是平行四边形，所有的等边三角形都是等腰三角形6解：Ax|2x4，Bx|x3，ABx|x2，ABx|3x4点拨：求连续数集的问题，一般要借助于数轴7解：A1,2,3,4,5,6,7,8，B1,2,3，C3,4,5,6，AB1,2,3，AC3,4,5,6，A(BC)1,2,3,4,5,6，A(BC)1,2,3,4,5,6,7,8点拨：解此类问题，首先要化简各集合，再寻找符合条件的集合，求交集就是找两集合的公共元素，求并集就是找两集合的全部元素，相同的只算一个，这是由集合中元素的互异性决定的8解：规定的集合运算说明：每个同学最多只能属于AB，AC，BC三个集合中的一个(1)ABx|x是参加一百米跑或二百米跑的同学(2)ACx|x是同时参加一百米跑和四百米跑的同学9解：BCx|x是正方形，ABx|x是邻边不相等的平行四边形，SAx|x是梯形点拨：叙述各集合时应力求简洁、清楚，如BC应该说既是菱形又是矩形，所以必为正方形10解：R(AB)x|x2，或x10，R(AB)x|x3，或x7，(RA)Bx|2x3，或7x10，A(RB)x|x2，或3x7或x10点拨：首先求出AB和AB，再求它们的补集，此类题目要借助于数轴，可以非常直观地获得结论，但要注意各端点的值的取舍B组1答案：4点拨：由A1,2，AB1,2可知BA，即B是A的子集，根据集合A有2个元素，则符合条件的集合B有224个2解：集合D表示两条直线2xy1和x4y5的交点，集合C与D的关系是DC点拨：解D中的方程组可得D(1,1)，它显然应当在直线yx上3解：(1)当a3时，A3，B1,4，AB1,3,4，AB；(2)当a3时，A3，a，B1,4；a4时，AB1,3,4，AB4；a1时，AB1,3,4，AB1；a4且a1时，AB1,3,4，a，AB点拨：本题的关键点是对a进行合理的分类，因为它影响到集合中的元素及A与B的运算，分类时首先区分A是单元素集还是双元素集，再在A含有两个元素时与集合B比较，以便能确定AB4解：由题知，UAB0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，A(UB)1,3,5,7，B可从0,2,4,6,8,9,10中任取元素组成点拨：其中的集合B是开放的，其包含的元素的个数是不确定的