2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第2章 基本初等函数（ⅰ） 2.1.1.1 根式

第二章 基本初等函数() 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时 根 式,主题1 n次方根及表示 1.如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作x=± ;如果x3=a, 则x叫做a的三次方根(立方根),记作x= ;若x4=a呢?,提示:若x4=a,则x叫做a的4次方根,记作x=± .,2.如果xn=a,则x叫做a的什么?如何表示?,提示:若xn=a,则x叫做a的n次方根,若n为奇数,则x= ; 若n为偶数,则x=± (a0).,结论: 1.n次方根的定义及表示 (1)定义:如果_,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且 nN*. (2)表示:xn=a,xn=a,2.根式 式子 叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. 【微思考】 根据n次方根的定义,当n为奇数时,是否对任意实数a都存在n次方根?n为偶数呢?,提示:当n为奇数时,对任意实数a,都存在n次方根,可表 示为 .但当n为偶数时不是,因为当a0时,a没有n次 方根;当a0时,a才有n次方根,可表示为± .,主题2 根式的性质 观察下面的等式 你能发现什么结论?,提示:一个数的n次方根的n次方等于其本身. 一个数的n次方后,再开n次方,当n为奇数时,等于其本身;当n为偶数时,等于其绝对值.,结论:根式的性质 (1)( )n=_. (2),a,a,|a|,【微思考】 1.求值与化简中常用到 与( )n,那么它们的含义 是什么?,提示:(1) 表示实数an的n次方根,是一个恒有意义的 式子,不受n是奇数还是偶数的限制,aR. (2)( )n表示实数a的n次方根的n次幂,其中a的取值 范围由n是奇数还是偶数来定.,2.( )n= 成立的条件是什么? 提示:等式成立的条件是n为奇数,或n为偶数且a0.,【预习自测】 1.若x5=2017,则x等于 ( ) A. B.- C.± D.,【解析】选A.由根式的定义知由x5=2017,得x= .,2.若m是实数,则下列式子中可能没有意义的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.A,B,D中mR均成立,而对于C只有m0才成立.,3. 的值为 ( ) A.-6 B.2 -2 C.2 D.6,【解析】选A. =(-6)+| -4|+ -4 =-6+4- + -4=-6.,4.15的平方根为_. 【解析】由平方根的定义知15的平方根为± . 答案:±,5.-243的5次方根为_. 【解析】因为(-3)5=-243,所以-243的5次方根为-3. 答案:-3,6.计算下列各式的值,【解析】(1) =|-2|+2=4. (2) =x-2+x-2=2x-4. 答案:(1)4 (2)2x-4,类型一 n次方根的概念 【典例1】(1)下列说法中:16的4次方根是2; 的运算结果是±2;当n为大于1的奇数时, 对任意 aR都有意义;当n为大于1的偶数时, 只有当a0 时才有意义.其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,(2)已知64的平方根为a,a的立方根为b,求a+b的值.,【解题指南】(1)由根式的概念及运算性质对每一说法作出判断. (2)先由平方根的定义求出a的值,再由立方根的定义求出b,进而确定a+b的值.,【解析】(1)选D.16的4次方根应是±2; =2;由 根式的概念及运算性质知正确,故选D. (2)因为64的平方根为±8,故a=±8. 当a=8时,b= =2,所以a+b=10. 当a=-8时,b= =-2,所以a+b=-10. 故a+b的值为10或-10.,【方法总结】根式概念问题应关注的两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数. (2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.,【巩固训练】(1)若x6=2017,则x是_. (2)-2017的五次方根是_.,【解析】(1)因为x6=2017,所以x=± . 答案:± (2)-2017的五次方根是- . 答案:-,【补偿训练】已知81的四次方根为a,-27的立方根为b,求a+b的值. 【解析】由条件知a=±3,b=-3,故a+b=0或a+b=-6.,类型二 根式性质的应用 【典例2】若 ,求实数a的取值范围. 【解题指南】先对根式化简,然后确定a的取值范围.,【解析】 =|2a-1|, =1-2a. 因为|2a-1|=1-2a,故2a-10,所以a .,【延伸探究】 1.若将条件“ ”换为“ = ”,则a的取值范围是什么?,【解析】由 =|2a-1|, =2a-1, 所以|2a-1|=2a-1, 故2a-10,所以a .,2.若条件不变,试化简,【解析】 因为a ,所以a- 0, 所以 = -a.,【方法总结】 1.根式化简应遵循的三个原则 (1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式. (2)被开方数是带分数的要化成假分数.,(3)被开方数中不能含有分母;使用 (a0, b0)化简时,被开方数如果不是乘积形式必须先化成 乘积的形式.,2.有条件根式化简的两个关注点 (1)条件的运用:充分利用已知条件,确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数,确定被开方数是正数还是负数. (2)讨论的标准:如果根式的被开方数不确定时,可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论,得出结论.,【补偿训练】1.已知 ,则实数a的取值 范围是_.,【解析】因为 =|a+1|, =a+1, 所以|a+1|=-(a+1),所以a+10,即a-1. 答案:(-,-1,2.设-3x3,化简,【解析】原式= =|x-1|-|x+3|. 因为-3x3,所以-4x-12,0x+36. 当-4x-10,即-3x1时, |x-1|-|x+3|=1-x-(x+3)=-2x-2; 当0x-12,即1x3时, |x-1|-|x+3|=x-1-(x+3)=-4.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)n1且nN*时,( )n=a. (2)n为奇数时, =a; n为偶数时,注意事项 (1)根式中根指数要求n1且nN*. (2)对于 ,当n为偶数时,a0.,