2017-2018学年高一数学新人教a版必修1课件：第1章 集合与函数概念 1.1.3.2 补集及综合应用

第2课时 补集及综合应用,主题 全集、补集的概念 1.根据方程(x-3)(x2-2)=0在不同范围内的解集,完成下面的问题: 该方程在有理数集内的解集为_;在实数集内的解集为_.,提示:方程在有理数集内的解集为3,实数集内的 解集为3, ,- . 答案:3 3, ,- ,2.观察下面三个集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,8,U=1,2,3,4,5,6,7,8. (1)集合A,B,U有什么关系? 提示:A U,B U,AB=U.,(2)B中元素与U和A有何关系? 提示:B中元素都属于集合U,它是由U中不属于A的元素构成的.,结论: 1.全集的定义 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.,所有,2.补集的定义 对于一个集合A,由全集U中_集合A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集, 记作 A,即 A=_.,不属于,x|xU,且xA,Venn图表示:,【微思考】 1.全集一定包含任何元素吗? 提示:不一定,全集仅包含我们所要研究问题中涉及的全部元素,而非任何元素.,2.两个不同的集合A,B在同一个全集U中的补集可能相等吗? 提示:不可能相等,因为集合A,B是两个不同的集合,所以必定存在元素在集合A的补集中,但不在集合B的补集中.,3.A( A)=吗? 提示:根据补集的定义, A=x|xU,且xA, 故A A=.,【预习自测】 1.设集合U=1,2,3,4,5,A=1,2,3,B=2,3,4, 则 (AB)= ( ) A.2,3 B.1,4,5 C.4,5 D.1,5 【解析】选B.因为AB=2,3, 所以 (AB)=1,4,5.,2.全集U=x|x2,集合A=x|22 B.x|x4 C.x|x2 D.x|x4 【解析】选B.由补集的定义知 A=x|x4.,3.已知全集U=x|1x5,A=x|1xa, 若 A=x|2x5,则a=_. 【解析】因为A( A)=U,所以A=x|1x2. 所以a=2. 答案:2,4.已知集合A=3,4,m,集合B=3,4,若 B=5, 则实数m=_. 【解析】因为 B=5,故5A,所以m=5. 答案:5,类型一 全集、补集的运算 【典例1】(1)(2016·全国卷)设集合A=0,2,4,6,8,10,B=4,8,则 B= ( ) A.4,8 B.0,2,6 C.0,2,6,10 D.0,2,4,6,8,10,(2)(2016·南京高一检测)已知U=x|0x1,A=x|0x1,则 A=_.,【解题指南】(1)根据补集的概念求解. (2)根据U=x|0x1,A=x|0x1及补集概念求解.,【解析】(1)选C.由补集的定义知 B=0,2,6,10. (2)因为U=x|0x1,A=x|0x1,故 A=0. 答案:0,【方法总结】求集合补集的处理思路 (1)当集合用列举法表示时,直接利用定义或借助Venn图求解. (2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助于数轴,利用数轴分析法求解.,【巩固训练】1.已知U=0,1,2,3,若 A=0,3, 则A等于 ( ) A.0,3 B.1,2 C.0,1,2 D.1,2,3 【解析】选B.因为U=0,1,2,3, A=0,3, 所以A=1,2.,2.设全集U=Z,A=xZ|x4,B=xZ|x2, 则 A与 B的关系是_. 【解析】因为U=Z,A=xZ|x4,B=xZ|x2, 所以 A=4,5,6, B=3,4,5,6, 故 A B. 答案: A B,【补偿训练】设全集U=R,集合A=x|2x5, 则 A=_.,【解析】用数轴表示集合A如图. 所以 A=x|x2或x5. 答案:x|x2或x5,类型二 并集、交集、补集的综合运算 【典例2】(2017·长春高一检测)已知集合A=x|1x7,B=x|2x10,C=x|xa, 全集为实数集R. (1)求AB,( A)B. (2)如果A( C),求a的取值范围.,【解题指南】(1)利用数轴根据交集、并集的定义 可求得AB,( A)B. (2)先表示出 C,再借助数轴利用集合间的关系求 出a的取值范围.,【解析】(1)因为A=x|1x7,B=x|2x10, 所以AB=x|1x10,( A)B=x|x1或x7x|2x10=x|7x10. (2)由题意知 C=x|xa,又A( C),故a1.,【延伸探究】 1.本例(2)条件不变,求( A)( B),并探究( A)( B)与 (AB)的关系.,【解析】 A=x|x1或x7, B=x|x2或x10, 所以( A)( B)=x|x1或x7x|x2或x10 =x|x1或x10.由AB=x|1x10, 故 (AB)=x|x1或x10.故( A)( B) = (AB).,2.将本例中条件“C=x|xa”改为“C=x|a-3x2a+1且( A)C=R”,求a的取值范围.,【解析】由题意得 A=x|x1或x7. 又( A)C=R,即x|x1或x7x|a-3x2a+1=R, 所以a-31,2a+17,所以3a4.,【方法总结】 1.求解与不等式有关集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时,借助于数轴(这也是集合语言转化为图形语言的常用方法)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到.,2.求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分, 然后再运算其他,如求( A)B时,可先求出 A, 再求交集.,【补偿训练】1.设全集为R,A=x|3x7, B=x|2x10,求 B, (AB)及( A)B.,【解析】把集合A,B在数轴上表示如图所示:,由图知 B=x|x2,或x10,AB=x|2x10, 所以 (AB)=x|x2,或x10. 因为 A=x|x3,或x7, 所以( A)B=x|2x3,或7x10.,2.(2017·淮南高一检测)已知集合A=x|-2x4, B=x|2-x1,U=R. (1)求AB. (2)求A( B).,【解析】(1)因为B=x|2-x1, A=x|-2x4,所以AB=x|1x4. (2)因为 B=x|x1,所以A( B)=x|x4.,类型三 补集的综合应用 【典例3】(2017·遵义高一检测)已知集合A=x|x2-4mx+2m+6=0,xR,B=x|x0,xR,若AB,求实数m的取值范围.,【解题指南】如果从正面直接求解情况较多,不易求解,那么可以从反面来考虑.,【解析】设全集U=m|=(-4m)2-4(2m+6)0 若AB=,则方程x2-4mx+2m+6=0的两根x1,x2均非负, 则有 解得m .,因为M= 关于U的补集为 M=m|m-1, 所以实数m的取值范围为m-1.,【方法总结】运用补集思想求参数范围的方法 (1)把已知的条件否定,考虑反面问题. (2)求解反面问题对应的参数范围. (3)将反面问题对应参数的范围取补集.,【巩固训练】若集合x|x2+x+a=0中,至少有一个元素为非负实数,求实数a的取值范围. 【解题指南】先求出方程无非负实根,或有两个负实根时a的取值范围,再由补集思想求出至少有一个元素为非负实数时a的取值范围.,【解析】由题意知,方程x2+x+a=0至少有一个非负实根. 若方程无非负实根,即方程无实根,或有两个负实根x1,x2. 则=1-4a ,或 解得00,记A=a|a0. 所以满足题意的实数a的取值范围是 A=a|a0.,【补偿训练】已知全集U=R,集合A=x|x-1, B=x|2axa+3,且B( A),求a的取值范围.,【解析】由题意得 A=x|x-1, (1)若B=,则a+32a,即a3满足B( A). (2)若B,则由B( A),得2a-1,且2aa+3, 即- a3.综上可得a- .,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 补集的相关性质 (1)A( A)=U,A( A)=. (2) ( A)=A, U=, =U. (3) (AB)=( A)( B), (AB)=( A)( B).,