中考数学专题复习专题提升十一以平行四边形为背景的计算与证明课件
专题提升（十一） 以平行四边形为背景的计算与证明,已知，如图Z111，在ABCD中，AC是对角线，若BEAC，DFAC，垂足分别为点E，F.求证：BEDF.(浙教版八下P83作业题第5题),一 以平行四边形为背景的计算与证明,图Z111,证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD. BACDCF. BEAC，DFAC， AEBCFD. 又ABCD， RtAEBRtCFD， BEDF. 【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分等性质，根据平行四边形的性质可以解决有关的计算或证明，,(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分,1如图Z112，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AECF，AECF，BEDF.求证：ADECBF. 图Z112,证明：AECF， AEDCFB. DFBE， DFEFBEEF，即DEBF. 在ADE和CBF中，,22013·郴州如图Z113，已知BEDF，ADFCBE，AFCE.求证：四边形DEBF是平行四边形 图Z113,证明：因为BEDF，所以AFDCEB. 又因为ADFCBE，AFCE， 所以ADFCBE，所以DFBE. 又因为BEDF， 所以四边形DEBF是平行四边形,如图Z114，四边形ABCD中，ADBC，AEAD交BD于点E，CFBC交BD于点F，且AECF.求证：四边形ABCD是平行四边形 图Z114,证明：ADBC， ADBCBD. AEAD，CFBC，EADFCB90°. 又AECF， EADFCB(AAS)，ADCB. 又ADBC，四边形ABCD是平行四边形,如图Z115，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AEBC，AFCD.求菱形各个内角的度数(浙教版八下P120作业题第4题) 图Z115,二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明,解：连接AC. 因为四边形ABCD是菱形，AEBC，AFCD且点E，F分别为BC，CD的中点， 所以ACABADBCCD， 所以三角形ABC，三角形ACD均为等边三角形， 所以ABCACBBACACDADCCAD60°， 所以菱形ABCD的四个内角角度分别为ABCADC60°，BADBCD120°.,教材母题答图,【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比的学习法，比较它们的区别和联系对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形性质又具有菱形性质,1如图Z116，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于H，连结OH，求证：DHODCO. 图Z116,证明：四边形ABCD是菱形，ODOB，COD90°.DHAB于H，DHB90°，OHOBOD，OHBOBH.ABCD，OBHODC，OHBODC.在RtCOD中，ODCOCD90°.在RtDHB中，DHOOHB90°，DHODCO.,22013·临沂如图Z117，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF. (1)求证：AFDC； (2)若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论 图Z117,证明：(1)E是AD的中点，AEED. AFBC，AFEDBE，FAEBDE， AFEDBE，AFDB. AD是BC边上的中线， DBDC，AFDC. (2)四边形ADCF是菱形 理由：由(1)知，AFDC. AFCD，AD是BC边上的中线， 四边形ADCF是平行四边形,32014·济宁如图Z118，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF. (1)求证：BFDF； (2)连接CF，请直接写出BECF的值(不必写出计算过程) 图Z118,解：(1)证明：四边形ABCD和AEFG都是正方形， ABAD，AEAGEFFG，BEFDGF90°. BEABAE，DGADAG，BEDG， BEFDGF， BFDF.,42014·南京如图Z119，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EFAB，交BC于点F. (1)求证：四边形DBFE是平行四边形； (2)当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？ 图Z119,解：(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点，即DE是ABC的中位线，DEBC. 又EFAB， 四边形DBFE是平行四边形 (2)本题答案不唯一，下列解法供参考 当ABBC时，四边形DBFE是菱形 又ABBC，BDDE. 又四边形DBFE是平行四边形， 四边形DBFE是菱形,52014·巴中如图Z1110，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF. (1)请你添加一个条件，使得BEHCFH，你添加的条件是_，并证明 (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由 图Z1110,BECF(答案不唯一),解：(1)添加条件：BECF(答案不唯一) 如图，BECF，12 点H是边BC的中点，BHCH 又34 BEHCFH (2)当BHEH时，四边形BFCE是矩形理由如下： BEHCFH， BHCH，EHFH， 四边形BFCE是平行四边形 又BHEH，EFBC， 四边形BFCE是矩形,第5题答图,6如图Z1111所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD120°，AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合 (1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BECF；,(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值,图Z1111,解：(1)连结AC. 在菱形ABCD中，BAD120°， BAC60°，B60°， ABC是正三角形， ABAC. AEF为正三角形， EAF60°，AEAF， BACEACEAFEAC， 即BAECAF，ABEACF， BECF.,变形6答图,如图Z1112，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一点，BE交AC于F，连结DF. 图Z1112 (1)证明：BACDAC，AFDCFE； (2)若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使EFDBCD，并说明理由,解：(1)证明：ABAD，CBCD，ACAC， ABCADC， BACDAC. ABAD，BAFDAF，AFAF， ABFADF， AFBAFD. 又CFEAFB， AFDCFE. (2)ABCD，BACACD. 又BACDAC， DACACD，ADCD. ABAD，CBCD，,ABCBCDAD， 四边形ABCD是菱形 (3)当BECD时，EFDBCD. 理由：四边形ABCD为菱形， BCCD，BCFDCF. 又CF为公共边， BCFDCF， CBFCDF. BECD，BECDEF90°， CBFBCDCDFEFD， EFDBCD.,
