高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_3 最大值与最小值学案 苏教版选修2-2
“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3.3最大值与最小值1会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(重点)2掌握含参数的最值问题的讨论(难点)3掌握函数的极值与最值的联系与区别(易混点)基础·初探教材整理函数的最大(小)值与导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题1函数的最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一2利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值1判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()【答案】(1)×(2)(3)×2函数f(x)2xcos x在(，)上_(填序号)无最值；有极值；有最大值； 有最小值【解析】f(x)2sin x>0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求函数在给定区间上的最值求下列函数的最值：(1)f(x)x3x22x5，x2,2；(2)f(x)exex，x0,1【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值【自主解答】(1)f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x21(1,2)2f(x)00f(x)17从上表可知，函数f(x)在2,2上的最大值是7，最小值是1.(2)f(x)(ex)ex.当x0,1时，f(x)<0恒成立，即f(x)在0,1上是减函数故当x1时，f(x)有最小值f(1)e；当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00.求函数最值的四个步骤(1)求函数的定义域；(2)求f(x)，解方程f(x)0；(3)列出关于x，f(x)，f(x)的变化表；(4)求极值、端点值，确定最值再练一题1(2016·盐城质检)函数yx2cos x在区间上的最大值是_. 【导学号：01580015】【解析】y12sin x，x，令y0，得x.由于f(0)2，f，f，函数的最大值为.【答案】由函数的最值确定参数的值已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值【精彩点拨】首先求出f(x)然后讨论a的正负，根据函数f(x)的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b.【自主解答】由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)当a>0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab单调递增b单调递减16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当a<0时，同理可得，当x0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在1,2上的最小值，f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.1本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论2已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论再练一题2设<a<1，函数f(x)x3ax2b在区间1,1上的最大值为1，最小值为，求该函数的解析式. 【导学号：01580016】【解】f(x)3x23ax，令f(x)0，得x0或xa.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0，a)a(a,1)1f(x)00f(x)1ab单调递增b单调递减b单调递增1ab从上表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，当xa时，f(x)取得极小值b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a1>0，所以f(x)的最大值为f(0)b，所以b1.又因为f(1)f(a)(a1)2(a2)<0，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a，所以a.故所求函数的解析式是f(x)x3x21.探究共研型与最值有关的恒成立问题如图136为yf(x)，xa，b的图象图136探究1观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值【提示】f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值探究2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】存在f(x)最小值f(a)，f(x)最大值f(x3)探究3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是其极值吗？【提示】不一定也可能是区间端点的函数值设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t>0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围【精彩点拨】(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)h(t)(2tm)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围【自主解答】(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t>0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)单调递增极大值1m单调递减g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)<2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1m<0.m的取值范围为(1，)1涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论2不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)af(x)恒成立af(x)最大值，af(x)恒成立a<f(x)最小值；(2)f(x)g(x)k恒成立kf(x)g(x)最小值；(3)f(x)g(x)恒成立f(x)最小值g(x)最大值；(4)af(x)能成立af(x)最小值，af(x)能成立af(x)最大值再练一题3上例(2)若改为“存在t0,2，使h(t)<2tm成立”，则实数m的取值范围如何求解？【解】令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m单调递增极大值1m单调递减3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(t)<2tm成立，等价于g(t)的最小值g(2)<0.3m<0，m>3，所以实数m的取值范围为(3，)构建·体系1函数yxsin x，x的最大值是_【解析】y1cos x0，yxsin x在上是增函数，y最大值.【答案】2函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_. 【导学号：01580017】【解析】f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0得x10，x22(舍去)当x1,0)时，f(x)>0，f(x)递增；当x(0,1，f(x)<0，f(x)递减；x0时，f(x)取最大值2.【答案】23函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_ .【解析】x，f(x)excos x0，f(
