高中数学 第1章 导数及其应用 1_2_2-3 简单复合函数的导数学案 苏教版选修2-2

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数(重点)2能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数(难点)3积函数、商函数求导公式的正确运用(易错点)基础·初探教材整理1导数的四则运算法则阅读教材P21，完成下列问题1导数的四则运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数f(x)g(x)f(x)g(x)差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数Cf(x)C·f(x)(C为常数)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数(g(x)0)判断正误：(1)若f(x)2x，则f(x)x2.()(2)已知函数y2sin xcos x，则y2cos xsin x()(3)已知函数f(x)(x1)(x2)，则f(x)2x1.()【解析】(1)由f(x)2x，则f(x)x2C.(2)由y2sin xcos x，则y(2sin x)(cos x)2cos xsin x.(3)由f(x)(x1)(x2)x23x2，所以f(x)2x3.【答案】(1)×(2)(3)×教材整理2复合函数的导数阅读教材P23，完成下列问题复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数复合函数的求导法则若yf(u)，uaxb，则yxyu·ux，即yxyu·a1判断正误：(1)函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1)()(2)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()【答案】(1)(2)×2已知函数f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.【解析】f(x)2(2xa)(2xa)4(2xa)，f(2)4(4a)20，a1.【答案】1质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用导数的运算法则求导数(1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x(e为自然对数的底数)，则f(e)_.(2)求下列函数的导数：f(x)(x2)(x3)；f(x)lg x3x；f(x)；f(x).【自主解答】(1)f(x)2f(e)，则f(e)2f(e).f(e).【答案】(2)f(x)x2x6，f(x)(x2x6)2x1.f(x)(lg x)(3x)3xln 3.f(x)，f(x).f(x)1，f(x)1.1解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程再练一题1求下列函数的导数(1)yx2x2；(2)y3xex2xe；(3)y；(4)yx2sin cos.【自主解答】(1)y2x2x3.(2)y(ln 31)·(3e)x2xln 2.(3)y.(4)yx2sincosx2sin x，y2xcos x.求简单复合函数的导数求下列函数的导数(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.【精彩点拨】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导【自主解答】(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyu·ux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyu·ux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyu·ux(5log2u)·(1x).(4)函数ysin3x可看作函数yu3和usin x的复合函数，函数ysin 3x可看作函数ysin v和v3x的复合函数yx(u3)·(sin x)(sin v)·(3x)3u2·cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤再练一题2求下列函数的导数(1)y；(2)ylog2(2x21)【解】(1)y1.设y1，u1x，则yyu·ux(1)·(1x)·(1).(2)设ylog2u，u2x21，则yyu·ux·4x.探究共研型导数法则的综合应用探究试说明复合函数y(3x2)2的导函数是如何得出的？【提示】函数y(3x2)2可看出函数yu2和u3x2的复合函数，yxyu·ux(u2)·(3x2)6u6(3x2)已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若直线l与圆C：x2y2相切，求实数a的值【精彩点拨】求出导数f(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解【自主解答】因为f(1)a，f(x)2ax(x<2)，所以f(1)2a2，所以切线l的方程为2(a1)xy2a0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d，解得a.关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用再练一题3若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2y2相交”，求a的取值范围【解】由例题知，直线l的方程为2(a1)xy2a0.直线l与圆C：x2y2相交，圆心到直线l的距离小于半径即d<.解得a>.构建·体系1函数y(2 0178x)3的导数y_. 【导学号：01580009】【解析】y3(2 0178x)2×(2 0178x)3(2 0178x)2×(8)24(2 0178x)2.【答案】24(2 0178x)22函数yx2cos 2x的导数为_【解析】y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)·(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.【解析】f(x)·(3x1)，f(1).【答案】4设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.【解析】令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)(eax)·(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.【答案】25求下列函数的导数(1)ycos(x3)；(2)y(2x1)3；(3)ye2x1.【解】(1)函数ycos(x3)可以看做函数ycos u和ux3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyu·ux(cos u)·(x3)sin u·1sin usin(x3)(2)函数y(2x1)3可以看做函数yu3和u2x1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyu·ux(u3)·(2x1)3u2·26u26(2x1)2.(3)ye2x1·(2x1)2e2x1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。