高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_2 极大值与极小值学案 苏教版选修2-2

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3.2极大值与极小值1会求函数的极大值与极小值(重点)2掌握函数极大(小)值与导数的关系(难点)3理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件(易错点)基础·初探教材整理1函数极大(小)值的概念阅读教材P30上半部分，完成下列问题函数极大(小)值的概念设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值判断正误：(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()【答案】(1)(2)(3)×教材整理2函数的极值与导数的关系阅读教材P30下半部分，完成下列问题(1)极大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧f(x)f(x)>0f(x)0f(x)<0f(x)增极大值f(x1)减(2)极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f(x)f(x)<0f(x)0f(x)>0f(x)减极小值f(x2)增函数f(x)的定义域为开区间 (a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图1­3­2所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点_个图1­3­2【解析】由图象可知：导函数f(x)0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点【答案】1质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求函数的极值求下列函数的极值(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x36；(3)f(x)|x|.【自主解答】(1)f(x)2x2，令f(x)0，解得x1.因为当x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，所以函数在x1处有极小值，且y极小值2.(2)f(x)x32x2xx(x22x1)x(x1)2.令f(x)0，解得x10，x21.所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当x0时，函数取得极小值，且y极小值6.(3)f(x)|x|显然函数f(x)|x|在x0处不可导，当x>0时，f(x)x1>0，函数f(x)|x|在(0，)内单调递增；当x<0时，f(x)(x)1<0，函数f(x)|x|在(，0)内单调递减故当x0时，函数取得极小值，且y极小值0.1讨论函数的性质要注意定义域优先的原则2极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：f(x0)0；点x0两侧f(x)的符号不同(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x0点)，也可能不是极值点(如y，在x0处不可导，在x0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f(x)0的根，也可能是不可导点再练一题1已知函数f(x)x22ln x，则f(x)的极小值是_. 【导学号：01580013】【解析】f(x)2x，且函数定义域为(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)<0，当x(1，)时，f(x)>0，当x1时，函数有极小值，极小值为f(1)1.【答案】1利用函数的极值求参数已知f(x)x3ax2bxc在x1与x时都取得极值(1)求a，b的值；(2)若f(1)，求f(x)的单调区间和极值【精彩点拨】(1)求导函数f(x)，则由x1和x是f(x)0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(1)求出c，再列表求解【自主解答】(1)f(x)3x22axb，令f(x)0，由题设知x1与x为f(x)0的解a，b2.(2)由(1)知f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1.f(x)x3x22x1.f(x)3x2x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的递增区间为和(1，)，递减区间为.当x时，f(x)有极大值为f；当x1时，f(x)有极小值为f(1).已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性再练一题2已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围【解】f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以导数f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m>3.故实数m的取值范围是(3，)探究共研型函数极值的综合应用探究1导数为0的点都是极值点吗？【提示】不一定，如f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点所以，当f(x0)0时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反探究2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图1­3­3所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？图1­3­3【提示】一个x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点x1，x3是极大值点探究3函数yf(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？【提示】不一定，若函数yf(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围【精彩点拨】求出函数的极值，要使f(x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围【自主解答】令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x<1时，f(x)>0；当1<x<1时，f(x)<0；当x>1时，f(x)>0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图象与x轴有三个交点，图略由已知应有解得2<a<2，故实数a的取值范围是(2,2)方程f(x)0的根就是函数yf(x)的零点，是函数图象与x轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与x轴交点的问题我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围再练一题3上例中，若方程f(x)0恰有两个根，则实数a的值如何求解？【解】由例题，知函数的极大值f(1)2a，极小值f(1)2a，若f(x)0恰有两个根，则有2a0，或2a0，所以a2或a2.构建·体系1若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则a_，b_.【解析】f(x)3x22axb两零点为2,4，【答案】3242(2016·苏州检测)若函数f(x)在x1处取极值，则a_.【解析】由f(x)0，x22xa0，x1，又f(x)在x1处取极值，x1是x22xa0的根，a3.【答案】33设aR，若函数yexax(xR)有大于零的极值点，则a的取值范围为_【答案】(，1)4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_【解析】f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.【答案】(，1)(2，)5求函数yx44x35的极值【解】y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y单调递减5单调递减22单调递增故当x3时函数取得极小值，且y极小值f(3)22.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社