高中数学 第1章 三角函数 1_2_2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.2.2同角三角函数关系1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan .(重点)2能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明(重点、难点)基础·初探教材整理同角三角函数的基本关系阅读教材P16P17的有关内容，完成下列问题1平方关系：sin2cos2_1.2商数关系：tan .1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)对任意角，sin23cos231都成立()(2)对任意角，tan 都成立()(3)若sin ，则cos .()【解析】(1).符合同角三角函数的关系(2)×.等式tan 的条件是即2k，kZ.(3)×.因为的范围不明，故cos ±±.【答案】(1)(2)×(3)×2已知是第二象限角，且cos ，则tan _.【解析】是第二象限角，sin 0.又sin2cos21，sin ，tan 2.【答案】2质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型利用同角基本关系式求值已知sin ，求cos ，tan 的值【精彩点拨】【自主解答】因为sin 0，sin 1，所以是第三或第四象限角由sin2cos21得cos21sin212.如果是第三象限角，那么cos 0.于是cos ，从而tan ×.如果是第四象限角，那么cos ，tan .同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数之间的关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论.再练一题1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值【解】由tan ，得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .三角函数式的化简、求值化简：·.【精彩点拨】【自主解答】原式·····±1.化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.再练一题2化简下列各式：(1)tan ，其中是第二象限角(2)0. 【导学号：06460009】【解】(1)原式tan tan tan ·1.(2)原式0，0.0sin cos .原式cos sin sin cos 2cos .三角函数式的证明求证：.【精彩点拨】从左边利用“1sin2xcos2x”及平方差公式推右边便可【自主解答】(sin xcos x)212sin xcos x，左边右边在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan ，求关于sin ，cos 的齐次式的问题)；“1”的代换(1sin2cos2)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.再练一题3证明下列三角恒等式：(1)；(2).【证明】(1)左边.右边.左边右边，等式恒成立(2)左边右边所以原等式成立探究共研型“sin ±cos ”同“sin cos ”间的关系探究1已知sin ±cos 的值，能求sin cos 的值吗？反之呢？【提示】设sin ±cos m，则(sin ±cos )2m2，即1±2sin cos m2，所以sin cos ±.反之也可以，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，开方便可探究2已知sin cos 的值，如何求sin cos 或cos sin 的值？【提示】设sin cos t，则12sin cos t2，从而2sin cos t2112sin cos 2t2从而(sin cos )22t2，对上式开方便可得出“sin cos ”或“cos sin ”的值(2016·南京高一检测)已知sin cos ，且0，求：(1)sin cos 的值；(2)求sin cos 的值【精彩点拨】【自主解答】(1)sin cos ，(sin cos )2，12sin cos ，即sin cos .(2)(sin cos )212sin cos 1.又0，且sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos .1已知sin ±cos 求sin cos ，只需平方便可2已知sin cos 求sin ±cos 时需开方，此时要根据已知角的范围，确定sin ±cos 的正负再练一题4已知sin cos ，且，则cos sin 的值为_【解析】(cos sin )212sin cos 12×.又，cos sin ，cos sin 0，cos sin .【答案】构建·体系1已知是第二象限的角，sin ，则cos _.【解析】cos <0，故cos .【答案】2已知sin cos ，则sin cos _.【解析】由sin cos ，两边平方得(sin cos )212sin cos ，sin cos .【答案】3若2，则tan _.【解析】2，2，tan 14tan 2，即3tan 3，tan 1.【答案】14化简：cos4sin2·cos2sin2_.【解析】cos4sin2cos2sin2cos2(cos2sin2)sin2cos2sin21.【答案】15求证：. 【导学号：06460010】【证明】左边右边原式成立我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)同角三角函数关系(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1(2016·南通高一检测)若sin ，tan 0，则cos _.【解析】sin 0，tan 0，为第四象限角，cos .【答案】2化简：(1tan2)·cos2_.【解析】原式·cos2cos2sin21.【答案】13已知sin ，则sin4cos4_.【解析】sin ，sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos22sin212×21.【答案】4已知是第二象限角，tan ，则cos _. 【导学号：06460011】【解析】tan ，cos 2sin .又sin2cos21，cos21，又为第二象限角，cos 0，cos .【答案】5(2016·扬州高一检测)化简：_.【解析】|sin 4|，<4<，sin 4<0，|sin 4|sin 4.【答案】sin 46(2016·泰州高一检测)已知，则等于_【解析】由1sin2xcos2x，可得.【答案】7若sin cos ，则tan 的值为_【解析】tan .又sin cos ，sin cos ，tan 2.【答案】28已知0<<，sin ·cos ，则sin cos 的值等于_【解析】sin ·cos <0,0<<，sin >0，cos <0，sin cos >0，(sin cos )212sin cos ，sin cos .【答案】二、解答题9已知tan x2，求：(1)的值；(2)sin2xcos2x的值【解】(1)3.(2)sin2xcos2x.10已知tan2 2tan21，求证：sin22sin21.【证明】因为tan22tan21，所以tan212tan22，所以12，所以，所以1sin22(1sin2)，即sin22sin21.能力提升1(2016·无锡高一检测)若角的终边在直线xy0上，则_.【解析】.又角的终边落在xy0上，故角的终边在第二、四象限当在第二象限时，原式0，当在第四象限时，原式0.【答案】02(2016·常州高一检测)化简：_.【解析】原式1.【答案】13若A(0，)，且sin Acos A，则_.【解析】(sin Acos A)2，12sin Acos A，2sin Acos A<0，A(0，)，sin A>0，cos A<0，(sin Acos A)212sin Acos A，sin Acos A，sin A，cos A，故.【答案】4已知关于x的方程2x2(1)x2m0的两根为si