高中数学 3_3 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教b版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.3三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式S±和C±进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)基础·初探教材整理积化和差与和差化积公式阅读教材P149内容，完成下列问题.1.积化和差公式：cos cos cos()cos()；sin sin cos()cos()；sin cos sin()sin()；cos sin sin()sin().2.和差化积公式：设x，y，则，.这样，上面的四个式子可以写成，sin xsin y2sin cos ；sin xsin y2cos sin ；cos xcos y2cos cos ；cos xcos y2sin sin .判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)sin(AB)sin(AB)2sin AcosB.()(2)sin(AB)sin(AB)2cos AsinB.()(3)cos(AB)cos(AB)2cos AcosB.()(4)cos(AB)cos(AB)2cos AcosB.()【答案】(1)(2)(3)(4)×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用(1)求值：sin 20°cos 70°sin 10°sin 50°.(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.【自主解答】(1)sin 20°cos 70°sin 10°sin 50°(sin 90°sin 50°)(cos 60°cos 40°)sin 50°cos 40°sin 50°sin 50°.(2)原式cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°cos 10°cos 50°cos 70°cos 70°cos 40°cos 70°cos 70°(cos 110°cos 30°)cos 70°cos 110°.给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.再练一题1.求sin220°cos250°sin 20°·cos 50°的值.【解】原式(sin 70°sin 30°)1(cos 100°cos 40°)sin 70°(2sin 70°sin 30°)sin 70°sin 70°sin 70°.积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用(2016·平原高一检测)已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值.【导学号：72010090】【精彩点拨】解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解.【自主解答】cos cos ，2sinsin.又sin sin ，2cossin.sin0，由，得tan，即tan.sin().对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.再练一题2.(2016·银川高一检测)已知sin ，求sin ，cos ，tan 的值.【解】，sin ，cos ，且，sin ，cos ，tan 2.探究共研型三角函数公式在解决三角形问题中的应用探究1解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？【提示】注意三角形中的隐含条件的应用，如ABC，ab>c等.探究2在ABC中有哪些重要的三角关系？【提示】 在ABC中的三角关系：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，cossin，sin(2A2B)sin 2C，cos(2A2B)cos 2C.在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4sinsincos.【精彩点拨】利用和差化积进行转化，转化时要注意ABC.【自主解答】左边sin(BC)2sin·cos2sincos2sincos2cos4sinsincos右边，原等式成立.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.再练一题3.在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4cos ·cos cos .【证明】由ABC180°，得C180°(AB)，即90°，cos sin .sin Asin Bsin C2sin·cossin(AB)2sin·cos2sin·cos2sin2cos ·2cos ·cos4cos cos cos ，原等式成立.构建·体系1.计算sin 105°cos75°的值是()A.B.C. D.【解析】sin 105°cos 75°(sin 180°sin 30°).【答案】B2.sin 75°sin 15°的值为()A.B.C. D.【解析】sin 75°sin 152cossin2××.故选B.【答案】B3.函数ysincos x的最大值为()【导学号：72010091】A. B.C.1 D.【解析】ysincos xsin.取最大值.【答案】B4.已知sin()，sin()，则sin cos _.【解析】sin cos sin()sin()××.【答案】5.化简下列各式：(1)；(2).【解】(1)原式tan .(2)原式.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十九)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.sin 37.5°cos 7.5°()A.B.C. D.【解析】原式sin(37.5°7.5°)sin(37.5°7.5°)(sin 45°sin 30°)×.【答案】C2.(2016·吉林高一检测)()A. B.C.2 D.4【解析】原式2.【答案】C3.若cos()cos()，则cos2sin2等于()A. B.C. D.【解析】cos()cos()(cos 2cos 2)(2cos21)(12sin2)cos2sin2，cos2sin2.【答案】C4.(2016·沈阳高一检测)在ABC中，若sin Asin Bcos2，则ABC是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.不等边三角形 D.直角三角形【解析】由sin Asin Bcos2，得cos(AB)cos(AB)，cos(AB)cos Ccos C，即cos (AB)1，AB0，即AB.ABC是等腰三角形.【答案】B5.求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80 °()A. B.C. D.1【解析】sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°2sin 30°cos 10°sin 60°sin 80°2××sin 80°sin 80°.【答案】C二、填空题6.函数ycoscos的最大值是_.【解析】ycoscoscos 4x.取最大值.【答案】7.直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为_.【解析】AB，sin Asin Bcos(AB)cos(AB)cos(AB)，又AB，0cos(AB)1，sin Asin B有最大值.【答案】8.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°cos 12°sin 54°_.【导学号：72010092】【解析】sin 42°cos 12°sin 54°sin 42°sin 78°sin 54°2cos 60°sin18°sin 54°sin 54°sin 18°2cos 36°sin 18°.【答案】三、解答题9.(2016·济宁高一检测)已知A，B，C是ABC的三个内角，ytan ，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论.【解】A，B，C是ABC的三个内角，ABC，.ytan