高中数学 3_2_3 3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量学案 新人教b版选修2-1

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量1理解直线与平面所成角的概念(重点)2会用向量法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)3正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系(易错点)基础·初探教材整理1直线与平面的夹角阅读教材P106P107“例”以上部分内容，完成下列问题1直线与平面所成的角2最小角定理1已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_【解析】设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60°.【答案】60°2PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为_【解析】设PC与平面PAB所成的角为，则cos 60°cos cos 30°，得cos .【答案】教材整理2二面角及其度量阅读教材P108P109“例1”以上部分内容，完成下列问题1二面角的相关概念(1)二面角及其平面角半平面平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为l，两个面分别为，的二面角，记作­l­，若A，B，则二面角也可以记作A­l­B平面角在二面角­l­的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角­l­的平面角(2)二面角的范围设二面角为，则0°180°.2直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角3二面角的度量(1)分别在二面角­l­的面，内，作向量n1l，n2l，则可以用n1，n2来度量二面角­l­.(2)设m1，m2，则m1，m2与二面角­l­大小相等或互补1在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A1­BC­A的余弦值为()A.BCD【解析】易知A1BA为二面角A1­BC­A的平面角，cosA1BA.【答案】C2已知ABC和BCD均为边长为a的等边三角形，且ADa，则二面角A­BC­D的大小为() 【导学号：15460077】A30° B45° C60° D90°【解析】如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AEBC，DEBC，且AEDEa，又ADa，AED60°，即二面角A­BC­D的大小为60°.【答案】C质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用空间角的定义求空间角在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB4，BC3，AA15，试求B1D1与平面A1BCD1所成角的正弦值【精彩点拨】作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而得到B1D1在平面A1BCD1内的射影【自主解答】作B1EA1B，垂足为E，又因为A1D1平面ABB1A1，A1D1B1E.由B1EA1B及B1EA1D1得B1E平面A1BCD1，所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影，从而B1D1E就是D1B1与平面A1BCD1所成的角在RtB1D1E中，有sinB1D1E.D1B15，又SA1BB1A1B·EB1A1B1·BB1，A1B，EB1，sinB1D1E.1作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”2用定义求二面角的步骤：(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角再练一题1如图3­2­24，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB，求二面角A­VB­C的余弦值图3­2­24【解】取VB的中点为E，连接AE，CE.VAABBCVC，AEVB，CEVB.AEC是二面角A­VB­C的平面角设ABa，连接AC，在AEC中，AEECa，ACa，由余弦定理可知cosAEC，所求二面角A­VB­C的余弦值为.利用空间向量求线面角如图3­2­25所示，三棱锥P­ABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点图3­2­25(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小【精彩点拨】(1)怎样建立坐标系？(2)向量与满足什么关系时有CMSN成立？(3)的坐标是多少？平面CMN的一个法向量怎么求？与平面CMN的法向量的夹角就是SN与平面CMN所成的角吗？【自主解答】设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又ANAB，M，S分别为PB，BC的中点，N，M，S，(1)，··0，因此CMSN.(2)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，·a0，·a0.则取y1，得a(2,1，2)因为cos<a，>.a，.所以SN与平面CMN所成的角为.1本题中直线的方向向量与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角，它们的关系是sin |cos，a|.2若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：再练一题2设在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABACAA12，BAC90°，E，F依次为C1C，BC的中点试求A1B与平面AEF的夹角的正弦值图3­2­26【解】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，所以(2,0，2)，(0,2,1)，(1,1,0)设平面AEF的一个法向量为n(a，b，c)，由得令a1，可得n(1，1,2)设A1B与平面AEF的夹角为，所以sin |cosn，|，即A1B与平面AEF的夹角的正弦值为.探究共研型求二面角探究1如何利用向量求二面角的大小？【提示】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的探究2在底面为平行四边形的四棱锥P­ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角【提示】法一如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设PAABa，ACb，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，.D(b，a,0)，P(0,0，a)，E，O，(b,0,0)·0，·0.EOF为平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)cos，.平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.法二建系如方法一，PA平面ABCD，(0,0，a)为平面ABCD的法向量，(b,0,0)设平面AEC的法向量为m(x，y，z)由得x0，yz.取m(0,1,1)，cosm，.平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.如图3­2­27，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.图3­2­27(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角D­A1C­E的正弦值【精彩点拨】(1)能否运用线面平行的判定定理求解？(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA1C和平面A1CE的法向量，进而利用公式求出二面角的正弦值？【自主解答】(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB，得ACBC.以C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1 CE的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角D­A1C­E的正弦值为.用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小再练一题3如图3­2­28，在空间直角坐标系Cxyz中，AB是圆O的直径，ACBC2，DCEB，DCEB，tanEAB，求二面角D­AE­B的余弦值图3­2­28【解】由题可知AB4，tanEAB，可得CDEB1，D(0,0,1)，E(0,2，1)，A(2，0,0)，B(0，2，0)，则(2，2，0)，(0,0,1)，(2，0，1)，(0,2，0)，设平面DAE的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即y1