高中数学 3_2_3 3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量学案 新人教b版选修2-1
24页1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色,纪律是不能触碰的底线,政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量1理解直线与平面所成角的概念(重点)2会用向量法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)3正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系(易错点)基础初探教材整理1直线与平面的夹角阅读教材P106P107“例”以上部分内容,完成下列问题1直线与平面所成的角2最小角定理1已知向量m,n分别是直线l与平面的方向向量、法向量,若cosm,n,则l与所成的角为_【解析】设l与所成的角为,则sin |cosm,n|,60.【答案】602PA,PB,PC是由点P出发的三条射线,两两夹角为60,则PC与平面PAB所成角的余弦值为_【解析】设PC与平面PAB所成的角为,则cos 60cos cos 30,得cos .【答案】教材整理2二面角及其度量阅读教材P108P109“例1”以上部分内容,完成下列问题1二面角的相关概念(1)二面角及其平面角半平面平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面二面角从一条直线出
2、发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面棱为l,两个面分别为,的二面角,记作l,若A,B,则二面角也可以记作AlB平面角在二面角l的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OAl,OBl,则AOB叫做二面角l的平面角(2)二面角的范围设二面角为,则0180.2直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角3二面角的度量(1)分别在二面角l的面,内,作向量n1l,n2l,则可以用n1,n2来度量二面角l.(2)设m1,m2,则m1,m2与二面角l大小相等或互补1在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角A1BCA的余弦值为()A.BCD【解析】易知A1BA为二面角A1BCA的平面角,cosA1BA.【答案】C2已知ABC和BCD均为边长为a的等边三角形,且ADa,则二面角ABCD的大小为() 【导学号:15460077】A30 B45 C60 D90【解析】如图,取BC的中点为E,连接AE,DE,由题意得AEBC,DEBC,且AEDEa,又ADa,AED60,即二面角ABCD的大小为60.【答案】C质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们
3、”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型利用空间角的定义求空间角在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB4,BC3,AA15,试求B1D1与平面A1BCD1所成角的正弦值【精彩点拨】作出B1点在平面A1BCD1内的射影,从而得到B1D1在平面A1BCD1内的射影【自主解答】作B1EA1B,垂足为E,又因为A1D1平面ABB1A1,A1D1B1E.由B1EA1B及B1EA1D1得B1E平面A1BCD1,所以,D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影,从而B1D1E就是D1B1与平面A1BCD1所成的角在RtB1D1E中,有sinB1D1E.D1B15,又SA1BB1A1BEB1A1B1BB1,A1B,EB1,sinB1D1E.1作直线与平面夹角的一般方法:在直线上找一点,通过这个点作平面的垂线,从而确定射影,找到要求的角其中关键是作平面的垂线,此方法简称为“一作,二证,三计算”2用定义求二面角的步骤:(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理);(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角;(3)解三角形求角再练一题1如图3224,AB
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