高中数学 3_1_2 两角和与差的正弦学案 新人教b版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.1.2两角和与差的正弦1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)基础·初探教材整理两角和与差的正弦阅读教材P136内容，完成下列问题.1.公式：名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Ssin()sin cos cos sin ，R两角差的正弦Ssin()sin cos cos sin ，R2.重要结论辅助角公式：yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角，是任意的.()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立.()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立.()(4)sin 54°cos 24°sin 36°sin 24°sin 30°.()【解析】(1).根据公式的推导过程可得.(2).当45°，0°时，sin()sin sin .(3)×.当30°，30°时，sin()sin sin 成立.(4).因为sin 54°cos 24°sin 36°sin 24°sin 54°cos 24°cos 54°sin 24°sin(54°24°)sin 30°，故原式正确.【答案】(1)(2)(3)×(4)质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型给角求值(1)()A.B.C. D.(2)求sin 157°cos 67°cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(75°)cos(45°)cos(15°)的值.【精彩点拨】(1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.【自主解答】(1)sin 30°.【答案】C(2)原式sin(180°23°)cos 67°cos 23°sin 67°sin 23°cos 67°cos 23°sin 67°sin(23°67°)sin 90°1.(3)sin(75°)cos(45°)cos(15°)sin(15°60°)cos(15°30°)cos(15°)sin(15°)cos 60°cos(15°)sin 60°cos(15°)cos 30°sin(15°)sin 30°cos(15°)sin(15°)cos(15°)cos(15°)sin(15°)cos(15°)0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.再练一题1.化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos().【解】(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.给值求值(2016·青岛高一检测)已知，cos()，sin()，求sin 2的值.【导学号：72010078】【精彩点拨】观察出角的关系，即2()()，然后求出sin()和cos()的值，利用两角和的正弦公式求解结果.【自主解答】因为，所以0，.又cos()，sin()，所以sin() ，cos() .所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()××.解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式.(2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分.(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围.再练一题2.本例中条件不变，试求sin 2的值.【解】由例题中解法知：sin()，cos().所以sin2sin()()sin()cos()cos()sin()××.探究共研型辅助角公式的应用探究1函数ysin xcos x(xZ)的最大值为2对吗？为什么？【提示】不对.因为sin xcos xsin，所以函数的最大值为.探究2函数y3sin x4cos x的最大值等于多少？【提示】因为y3sin x4cos x5，令cos ，sin ，则y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函数y的最大值为5.探究3如何推导asin xbcos xsin(x)公式.【提示】asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定).当函数ysin xcos x(0x<2)取得最大值时，x_.【精彩点拨】可先用公式S±将函数化为yAsin(x)形式再求最大值对应的x值.【自主解答】函数为ysin xcos x222sin，当0x<2时，x<，所以当y取得最大值时，x，所以x.【答案】1.对于形如sin ±cos ，sin ±cos 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.再练一题3.函数f (x)sin xcos的值域为()A.2,2 B.C.1,1 D.【解析】f (x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f (x)的值域为，.故选B.【答案】B构建·体系1.(2016·清远期末)化简：sin 21°cos 81°cos 21°sin 81°等于()A. B.C. D.【解析】原式sin(21°81°)sin 60°.故选D.【答案】D2.函数ysin xcos x的最小正周期是()A. B.C.2 D.4【解析】ysin xcos xsin，所以T2.【答案】C3.()A. B.C. D.【解析】sin 30°.【答案】C4.(2016·淮安高一检测)sin 155°cos 35°cos 25°cos 235°_.【解析】原式sin 25°cos 35°cos 25°sin 35°sin(25°35°)sin 60°.【答案】5.已知，均为锐角，sin ，cos ，求.【导学号：72010079】【解】，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin <sin ，<，<<0，sin()sin cos cos sin ××，.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2015·全国卷)sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()A.B.C.D.【解析】sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin(20°10°)sin 30°，故选D.【答案】D2.(2016·北京高一检测)在ABC中，A，cos B，则sin C等于()A. B.