高中数学 2_4_1 抛物线的标准方程学案 新人教b版选修2-1

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.4.1抛物线的标准方程1掌握抛物线的定义及其标准方程(重点、难点)2会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程(易错点)基础·初探教材整理1抛物线的定义阅读教材P59前3自然段，完成下列问题平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做_定点F叫做抛物线的_，定直线l叫做抛物线的_【答案】抛物线焦点准线判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数()(3)方程x22py是表示开口向上的抛物线()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2抛物线的标准方程阅读教材P59第4自然段P60，完成下列问题.图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p>0)_y22px(p>0)_x22py(p>0)_x22py(p>0)_【答案】xxyy抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.BC. D0【解析】抛物线y4x2化为标准方程为x2y，如图所示，由抛物线定义可知，点M到焦点的距离等于点M到准线y的距离，即1，yM.【答案】B质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点M(6,6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上；(3)焦点到准线的距离是4.【精彩点拨】(1)过点M(6,6)的抛物线有几种情况？(2)所求抛物线的焦点是什么，有几种情况？(3)由焦点位置判断有几种情况？【自主解答】(1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p>0)，将点M(6,6)代入，可得362p×(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p>0)，将点M(6,6)代入可得，362p×6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.(3)焦点到准线距离p4，焦点可在x，y轴上，故有四种情况，标准方程为y28x，y28x，x28y，x28y.1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx或x2ny，这样可以减少讨论情况的个数(3)注意p与的几何意义再练一题1根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1，3)；(2)过点(4，8)；(3)焦点在x2y40上【解】(1)法一设所求抛物线方程为x22py(p0)，将点(1，3)代入方程，得(1)22p·(3)，解得p，所以所求抛物线方程为x2y.法二由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点(1，3)，所以1m·(3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.(2)法一设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(4，8)代入y22px，得p8；将点(4，8)代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以644n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.抛物线定义的应用(1)一动圆圆心在抛物线x24y上，该圆过点(0,1)，且与定直线l相切，则直线l的方程为_(2)已知抛物线x24y，焦点是F(0,1)，A为抛物线上一动点，以AF为直径的圆与定直线l相切，则直线l的方程为_【精彩点拨】圆与直线相切，寻找圆心与定点和定直线的关系【自主解答】(1)因为动圆过点(0,1)，且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以直线l的方程为y1.(2)因为F(0,1)为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，则AF的中点坐标为M.又因为圆的半径为，所以圆心M到x轴的距离恒等于半径，所以直线l的方程为y0.【答案】(1)y1(2)y0根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题再练一题2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B3C. D【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点P到准线x的距离d|PF|，易知点A(0,2)在抛物线y22x的外部，连接AF，交y22x于点P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F共线，其最小值为|AF| .【答案】A与抛物线有关的轨迹问题已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【导学号：15460043】【精彩点拨】(1)圆M与直线y2相切可以想到什么？(2)两圆外切的条件是什么？(3)点M的条件满足抛物线定义吗？【自主解答】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到圆心C(0，3)的距离与直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.求动点轨迹方程的方法：定义法，判断动点的轨迹是否满足抛物线的定义若满足抛物线的定义，则可按抛物线标准方程的形式写出方程再练一题3已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程【解】设动点M(x，y)，M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6，故动圆圆心M的轨迹方程是y212x.探究共研型抛物线的实际应用探究1求解抛物线实际应用题的步骤有哪些？【提示】求解抛物线实际应用题的五个步骤：探究2如何利用抛物线定义解决实际问题？【提示】把实际问题转化为数学问题，利用抛物线的知识来解决实际问题在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【精彩点拨】建系设方程解方程求出相关量解决问题【自主解答】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p>0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p，抛物线方程为x2y.当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程(2)利用已求方程求点的坐标再练一题4.探照灯反射镜(如图2­4­1)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标图2­4­1【解】如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px(p>0)，由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得3022p·40，解得p.故所求抛物线的标准方程为y2x，焦点坐标是.构建·体系1准线方程为y的抛物线的标准方程为()Ax2yBx2yCy2x Dy2x【解析】由准线方程为y知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，则p.故所求抛物线的标