高中数学 2_3_3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案 新人教b版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.(难点)基础·初探教材整理1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示阅读教材P112“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.1.向量内积的坐标运算：已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则a·ba1b1a2b2.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b20.已知a(1，1)，b(2,3)，则a·b()A.5 B.4 C.2 D.1【解析】a·b(1，1)·(2,3)1×2(1)×31.【答案】D教材整理2向量的长度、距离和夹角公式阅读教材P112P113内容，完成下列问题.1.向量的长度：已知a(a1，a2)，则|a|.2.两点间的距离：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.3.两向量的夹角：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则cosa，b.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a，b的夹角为0度.()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.()【解析】(1)×.因为当x1y2x2y10时，向量a，b的夹角也可能为180°.(2).由向量数量积定义可知正确.(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.【答案】(1)×(2)(3)×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型平面向量数量积的坐标运算(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a(1,2)，b(2，x)，且a·b1，则x的值等于()A.B.C. D.(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则a·b_，a·(ab)_.(3)已知a(2，1)，b(3,2)，若存在向量c，满足a·c2，b·c5，则向量c_.【精彩点拨】根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.【自主解答】(1)因为a(1,2)，b(2，x)，所以a·b(1,2)·(2，x)1×22x1，解得x.(2)a·b(1,2)·(3,2)(1)×32×21，a·(ab)(1,2)·(1,2)(3,2)(1,2)·(4,0)4.(3)设c(x，y)，因为a·c2，b·c5，所以解得所以c.【答案】(1)D(2)14(3)1.进行数量积运算时，要正确使用公式a·bx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2a·a；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22a·b|b|2.2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.再练一题1.设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，则(a2b)·c()A.(15,12) B.0C.3 D.11【解析】依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)·c(5,6)·(3,2)5×36×23.【答案】C向量的模的问题(1)(2016·莱州期末)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A.4 B.5C.3 D.4(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则|ab|_，|ab|_.【精彩点拨】(1)两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2x2y10.(2)已知a(x，y)，则|a|.【自主解答】(1)由y40知y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4.故选D.(2)由题意知，ab(2,4)，ab(4,0)，因此|ab|2，|ab|4.【答案】(1)D(2)24向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算，若a(x，y)，则|a|.再练一题2.已知向量a(2x3,2x)，b(3x,2x)(xR)，则|ab|的取值范围为_.【解析】ab(x，x2)，|ab|，|ab|，).【答案】，)探究共研型向量的夹角与垂直问题探究1设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？【提示】cos .探究2已知a(1，1)，b(，1)，当a与b的夹角为钝角时，的取值范围是什么？【提示】a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，a·b1.a，b的夹角为钝角，即<1且1.的取值范围是(，1)(1,1).(1)已知向量a(2,1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A.(2，) B.C.(，2) D.(2,2)(2)已知a(3,4)，b(2，1)，且(amb)(ab)，则实数m为何值？【精彩点拨】(1)可利用a，b夹角为锐角求解.(2)可利用两非零向量aba·b0来求m.【自主解答】(1)当a·b共线时，2k10，k，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向.由a·b2k>0得k>2，且k，即实数k的取值范围是，选B.【答案】B(2)amb(32m,4m)，ab(1,5)，因为(amb)(ab)，所以(amb)·(ab)0，即(32m)×1(4m)×50，所以m.1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用|a|计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cos 求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos 求的值.2.涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助aba·bx1x2y1y20来解决.再练一题3.已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.【导学号：72010066】【解】设a与b的夹角为，则a·b(1,2)·(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以a·b0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos <0且cos 1，所以a·b<0且a与b不反向.由a·b<0得12<0，故<，由a与b共线得2，故a与b不可能反向，所以的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos >0，且cos 1，所以a·b>0且a，b不同向.由a·b>0，得>，由a与b同向得2，所以的取值范围为(2，).1.已知向量a(1，1)，b(2，x)，若a·b1，则x()A.1B.C. D.1【解析】由a(1，1)，b(2，x)可得a·b2x1，故x1.【答案】D2.已知a(2,1)，b(x，2)，且ab，则x的值为()A.1 B.0C.1 D.2【解析】由题意，a·b(2,1)·(x，2)2x20，解得x1.故选A.【答案】A3.(2016·邢台期末)在平行四边形ABCD中，(1,0)，(2,2)，则·等于()A.4 B.2C.2 D.4【解析】·()·(2)23·823×24.故选D.【答案】D4.已知a(3，4)，则|a|_.【解析】因为a(3，4)，所以|a|5.【答案】55.已知向量a(3，1)，b(1，2)，求：(1)a·b；(2)(ab)2；(3)(ab)·(ab).【导学号：72010067】【解】(1)因为a(3，1)，b(1，2)，所以a·b3×1(1)×(2)325.(2)ab(3，1)(1，2)(4，3)，所以(ab)2|ab|242(3)225.(3)ab(3，1)(1，2)(4，3)，ab(3，1)(1，2)(2,1)，(ab)·(ab)(4，3)·(2,1)835.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十二)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择