高中数学 2_1_3 向量的减法学案 新人教b版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.1.3向量的减法1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点)2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)基础·初探教材整理1向量的减法阅读教材P84倒数“第7行”以上内容，完成下列问题.图2­1­191.向量减法的定义：已知向量a，b(如图2­1­19)，作a，作b，则ba，向量叫做向量a与b的差，并记作ab，即ab.2.向量减法的两个重要结论：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”.在ABC中，D是BC的中点，设c，b，a，d，则da_.【解析】dad(a)c.【答案】c教材整理2相反向量阅读教材P84倒数“第6行”P85“例1”以上部分内容，完成下列问题.1.相反向量的定义：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a.2.相反向量的性质：(1)a(a)(a)a0；(2)(a)a；(3)零向量的相反向量仍是0，即00.3.向量减法的理解：在向量减法的定义式ba的两边同时加(b)，由b(b)0得a(b)，这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.设b是a的相反向量，则下列说法错误的有_.a与b的长度必相等；ab；a与b一定不相等；a是b的相反向量.【解析】因为0的相反向量是0，故不正确.【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型向量减法及其几何意义(1)可以写成：；.其中正确的是()A. B. C. D.(2)化简：_；_.(3)已知菱形ABCD的边长为2，则向量的模为_，|的范围是_.【精彩点拨】(1)用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行四边形法则求向量和的关键是“共起点”.(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后用加法a(b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.【自主解答】(1)因为，所以选D.(2)()0；()().(3)因为，又|2，所以|2.又因为，且在菱形ABCD中，|2，所以|<|<|，即0<|<4.【答案】(1)D(2)0(3)2(0,4)1.向量加法与减法的几何意义的联系：(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若a，b，则ab，ab.(2)类比|a|b|ab|a|b|可知|a|b|ab|a|b|.2.向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相连且为和.(2)起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.再练一题1.下列各式中不能化简为的是()A.()B.()C.()()D.【解析】选项A中()；选项B中()0；选项C中()()().【答案】D利用已知向量表示其他向量如图2­1­20所示，已知a，b，c，d，e，f ，试用a，b，c，d，e，f 表示：图2­1­20(1)；(2)；(3).【导学号：72010045】【精彩点拨】运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f 的和与差来表示.【自主解答】(1)b，d，db.(2)a，b，c，f ，()()bf ac.(3)d，f ，f d.1.解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.2.通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“”改为“”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“”改为“”.再练一题2.如图2­1­21，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.图2­1­21【解】四边形ACDE为平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.探究共研型向量减法的三角不等式及其取等条件探究1若|8，|5，则|的取值范围是什么？【提示】由及三角不等式，得|，又因为|8，所以3|13，即|3,13.探究2已知向量a，b，那么|a|b|与|a±b|及|a|b|三者具有什么样的大小关系？【提示】它们之间的关系为|a|b|a±b|a|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立.(2)当a，b不共线时，作a，b，则ab，如图(1)所示，根据三角形的性质，有|a|b|<|ab|<|a|b|.同理可证|a|b|<|ab|<|a|b|.(3)当a，b非零且共线时，当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|ab|a|b|.当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|ab|a|b|.综上所述，得不等式|a|b|a±b|a|b|.设a和b的长度均为6，夹角为，则|ab|等于_.【精彩点拨】画出平行四边形数形结合求解.【自主解答】作a，b，则|ab|，在RtBCO中，BOC，|6，|3，|ab|2|6.【答案】6利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.再练一题3.已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，求|ab|.【解】如图，作a，b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有ab，ab，即|ab|与|ab|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|ab|ab|，所以该四边形为矩形，从而|ab|10.构建·体系1.在ABC中，若a，b，则等于()A.aB.abC.ba D.ab【解析】ab.故选D.【答案】D图2­1­222.如图2­1­22，在四边形ABCD中，设a，b，c，则()A.abc B.b(ac)C.abc D.bac【解析】abc.【答案】A3.若O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.B.C.D.【解析】因为O，E，F 三点不共线，所以在OEF 中，由向量减法的几何意义，得，故选B.【答案】B4.已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是_.【导学号：72010046】若|a|b|ab|，则a与b方向相同；若|a|b|ab|，则a与b方向相反；若|a|b|ab|，则a与b有相等的模；若|a|b|ab|，则a与b方向相同.【解析】当a，b方向相同时有|a|b|ab|，|a|b|ab|，当a，b方向相反时有|a|b|ab|，|a|b|ab|.因此为真命题.【答案】5.化简：()().【解】法一：()()()()0.法二：()()()()0.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.在平行四边形ABCD中，a，b，则的相反向量是()A.ab B.baC.ab D.ab【解析】ba，的相反向量为(ba)ab.【答案】A2.已知平面内M，N，P三点满足0，则下列说法正确的是()A.M，N，P是一个三角形的三个顶点B.M，N，P是一条直线上的三个点C.M，N，P是平面内的任意三个点D.以上都不对【解析】因为0，0对任意情况是恒成立的.故M，N，P是平面内的任意三个点.故选C.【答案】C3.(2016·天津和平区期末)在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是()A. B.C. D.【解析】由向量加减法法则知，C项只有四边形ABCD是平行四