高中数学 2_1_1 向量的概念学案 新人教b版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.1.1向量的概念1.理解向量、零向量、基线、向量模的意义.(重点)2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置.3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.(重点、难点)基础·初探教材整理1向量及其几何表示阅读教材P77P78“第17行”以上内容，完成下列问题.1.向量的定义具有大小和方向的量称为向量.2.自由向量只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量.3.向量的表示(1)有向线段：具有方向的线段.(2)向量可以用有向线段表示，向量的大小，也就是向量的长度，记作|，向量也可以用字母a，b，c，表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.(3)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)向量可以比较大小.()(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.()(3)某个角是一个向量.()(4)体积、面积和时间都不是向量.()【解析】因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)教材整理2向量的有关概念阅读教材P78“第18行”P79以上内容，完成下列问题.1.零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：同向且等长的向量叫做相等向量.3.平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或相反向量叫做平行向量，也叫共线向量.向量a平行于b，记作ab.4.位置向量：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)单位向量都平行.()(2)零向量与任意向量都平行.()(3)若ab，bc，则ac.()(4)|.()【解析】(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b0，则(3)不成立；(4)正确.故只有(2)(4)正确.【答案】(1)×(2)(3)×(4)质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型向量的有关概念判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.【精彩点拨】解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素.【自主解答】(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.(2)不正确.由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.(3)正确.因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.再练一题1.给出下列命题：若|a|b|，则ab或ab；向量的模一定是正数；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上.其中正确命题的序号是_.【解析】错误.由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系.错误.0的模|0|0.正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上.【答案】向量的表示及应用某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量，；(2)求的模.【精彩点拨】可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把放在直角三角形中求得|.【自主解答】(1)作出向量，如图所示：(2)由题意得，BCD是直角三角形，其中BDC90°，BC10米，CD10米，所以BD10米.ABD是直角三角形，其中ABD90°，AB5米，BD10米，所以AD5(米)，所以|5米.1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，等.2.两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.再练一题2.一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.(1)作出向量，；(2)求|.【导学号：72010039】【解】(1)作出向量，如图所示.(2)由题意知与方向相反，与共线，在四边形ABCD中，ABCD，又|，四边形ABCD为平行四边形，|200(公里).探究共研型相等向量与共线向量探究1向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？【提示】向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b0，则向量a与c不一定共线.探究2两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？【提示】不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.(1)(2016·潍坊高一检测)如图2­1­1，在等腰梯形ABCD中.图2­1­1与是共线向量；>.以上结论中正确的个数是()A.0 B.1C.2D.3(2)下列说法中，正确的序号是_.任何两个单位向量都是相等向量；零向量都相等；任一向量与它的平行向量不相等；若四边形ABCD是平行四边形，则；共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.【精彩点拨】可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.【自主解答】单位长度是1，长度相等，但方向不一定相同，故不是相等向量，即不正确；由可知也不正确；因为两个向量不能比较大小，所以不正确.(2)因为向量与是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即错误；画出图形，可得，所以正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以不正确.【答案】(1)A(2)相等向量与共线向量需注意的四个问题：(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0).(4)三点A，B，C共线，共线.再练一题3.如图2­1­2所示，O是正六边形ABCDEF 的中心.图2­1­2分别写出图中与，相等的向量；与的长度相等、方向相反的向量有哪些？【解】与相等的向量有，；与相等的向量有，；与相等的向量有，.与的长度相等、方向相反的向量有，.1.下列说法中正确的个数是()身高是一个向量；AOB的两条边都是向量；温度含零上和零下温度，所以温度是向量；物理学中的加速度是向量.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】只有中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，错误，正确.【答案】B2.在下列判断中，正确的是()长度为0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向；任意向量与零向量都共线.A. B.C. D.【解析】由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然、正确，不正确，故选D.【答案】D3.(2016·三明市期末)设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A.e1e2 B.e1e2C.|e1|e2| D.以上都不对【解析】单位向量的模都等于1个单位，故C正确.【答案】C4.在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是_.(填序号)【解析】由向量的相关概念可知正确.【答案】5.如图2­1­3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量.图2­1­3【导学号：72010040】【解】由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长