高中数学 1_4_1 曲边梯形面积与定积分学案 新人教b版选修2-2
“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线14.1曲边梯形面积与定积分1了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程(重点)2掌握定积分的概念，会用定义求定积分(难点)3理解定积分的几何意义与性质(易混点)基础·初探教材整理1曲边梯形阅读教材P36，完成下列问题由直线xa，xb(ab)，y0和曲线_所围成的图形称为曲边梯形(如图141)图141【答案】yf(x)教材整理2定积分的定义阅读教材P38，完成下列问题设函数yf(x)定义在区间a，b上(如图142)用分点ax0x1x2xn1xnb把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i，作和式In(i)xi，当0时，如果和式的极限存在，我们把_叫做_上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx(i)xi.其中f(x)叫做_，a叫_，b叫_，f(x)dx叫做被积式此时称函数f(x)在区间a，b上_图142【答案】和式In的极限函数f(x)在区间a，b被积函数积分下限积分上限可积教材整理3定积分的性质与几何意义阅读教材P39，完成下列问题1定积分的性质(1)cf(x)dx_(c为常数)(2)设f(x)，g(x)可积，则f(x)±g(x)dxf(x)dx±_.【答案】1.(1)cf(x)dx(2)g(x)dx2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有_，那么定积分f(x)dx表示由_所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义【答案】f(x)0直线xa，xb，y0和曲线yf(x)1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)f(x)dxf(t)dt.()(2)f(x)dx的值一定是一个正数()(3)(x22x)dxx2dx2xdx.()【答案】(1)(2)×(3)2填空(1)由y0，ycos x，x0，x围成的图形的面积用定积分的形式表示为_(2) f(x)dxf(x)dx_.(3)2xdx_2xdx.(填“<”“”或“>”)【答案】(1) cos xdx(2)f(x)dx(3)<质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型求曲边梯形的面积求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积【精彩点拨】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解【自主解答】(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间0,1等分成n个小区间：，简写作(i1,2，n)每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点i(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点，用f(i)的相反数f(i)为其一边长，以小区间长度x为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Sif(i)x·(i1,2，n)(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即SSi(i)x·021222(n1)2012(n1)·n(n1)(2n1)·.(4)取极限当分割无限变细，即x趋向于0时，n趋向于，此时趋向于S.从而有S .所以由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积为.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割在区间a，b中等间隔地插入n1个分点，将其等分成n个小区间xi1，xi(i1,2，n)，小区间的长度xixixi1.第二步：近似代替“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值第三步：求和将n个小矩形的面积进行求和得Sn.第四步：取极限当n时，SnS，S即为所求再练一题1求由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S.【解】(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：，记第i个区间为(i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：S1，S2，Sn，则小曲边梯形面积的和为SSi，(2)近似代替记f(x).当n很大，即x很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f.从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间上，用小矩形面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSifx·(i1,2，n)(3)求和小曲边梯形的面积和SnSiSinn.从而得到S的近似值SSn.(4)取极限分别将区间1,2等分成8,16,20，等份时，Sn越来越趋向于S，从而有SSn.所以由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S为.利用定义求定积分利用定积分的定义，计算(3x2)dx的值【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割，近似代替，求和，取极限【自主解答】令f(x)3x2.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、作和取i(i1,2，n)，则Sn·x·012(n1)5×5.(3)取极限(3x2)dxSn .利用定义求定积分的步骤再练一题2利用定积分的定义，计算(x1)dx的值【解】f(x)x1在区间1,2上连续，将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个区间的长度为x，在上取i1(i1,2，n)，f(i)112，(i)·x··n012(n1)22，(1x)dx .定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分(1) dx；(2)(2x1)dx；(3) (x33x)dx. 【导学号：05410028】【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解【自主解答】(1)曲线y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示其面积为S··32.由定积分的几何意义知dx.(2)曲线f(x)2x1为一条直线.(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示其面积为S(17)×312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(3)yx33x在区间1,1上为奇函数，图象关于原点对称，曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等由定积分的几何意义知 (x33x)dx0.1定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，xb及y0所围成的平面图形的形状常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确2奇、偶函数在区间a，a上的定积分(1)若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则0.(2)若偶函数yf(x)的图象在a，a上连续，则2f(x)dx.再练一题3上例(1)中变为dx，如何求解？【解】由y，知x2y29(y0)，x，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形××32×3×，S矩形|AB|×|BC|2××，dx.探究共研型定积分性质的应用探究1怎样求分段函数的定积分？【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加探究2怎样求奇(偶)函数在区间a，a上的定积分？【提示】若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则f(x)dx0；若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续，则g(x)dx2g(x)dx.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2.【精彩点拨】由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示【自主解答】(1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示设此面积为S，则S(0)dxdx.(1)(2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示设面积为S，则SA1A2.因为A1由y，y，x1围成，A2由y，yx2，x1和x4围成，所以A1()dx2dx，A2(x2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁应用时注意性质的推广：(1)f1(x)±f2(x)±±fn(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx±±fn(x)dx；(2)f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c1<c2<<cn<b，nN)再练一题4已知xdx，x2dx，求下列定积分的值(1)(2xx2)dx；(2)(2x2x1)dx.【解】(
