高中数学 1_3_1 推出与充分条件、必要条件学案 新人教b版选修2-1

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3.1推出与充分条件、必要条件1结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义(重点)2会求(判定)某些简单命题的条件关系(重点)3通过对充分条件、必要条件概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳逻辑思维的能力(难点)基础·初探教材整理1充分条件与必要条件阅读教材P19P20第2自然段，完成下列问题充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p_qp_q条件关系p是q的_条件q是p的_条件p不是q的_条件q不是p的_条件【答案】充分必要充分必要判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立()(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立()【答案】(1)(2)(3)×教材整理2充要条件阅读教材P20第3自然段P21，完成下列问题充要条件的概念一般地，如果pq，且qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的_条件，简称_条件概括地说，如果pq，那么p与q_条件【答案】充分且必要充要互为充要在平面直角坐标系xOy中，直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直的充要条件是m_. 【导学号：15460012】【解析】x(m1)y2m与mx2y8互相垂直1·m(m1)·20m.【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型充分条件、必要条件、充要条件的判断下列各题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)p：ABA，q：UBUA；(2)在ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B；(3)p：1，q：yf(x)为偶函数【精彩点拨】(1)画出Venn图(如图1­3­1)可得图1­3­1(2)在ABC中，sin A>sin BA>B，但是当A为钝角时，tan A<0.【自主解答】(1)ABAABUAUB.故p是q的充要条件(2)在ABC中，sin A>sin BA>Btan A>tan B，tan A>tan Bsin A>sinB故p是q的既不充分也不必要条件(3)1f(x)f(x)yf(x)为偶函数，但当f(x)0时，qp.故p是q的充分不必要条件1判断p是q的什么条件，主要判断pq，及qp两命题的正确性，若pq真，则p是q成立的充分条件；若qp真，则p是q成立的必要条件要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定2充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法：(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况若綈p綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若綈p綈q，且綈q 綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p綈q，则p与q互为充要条件；若綈p 綈q，且綈q 綈p，则p是q的既不充分也不必要条件(4)集合法：写出集合Ax|p(x)及Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度再练一题1已知如下四个命题中：若aR，则“a2”是“(a1)(a2)0”的充分不必要条件；对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；直线l1：axy3，l2：xbyc0，则“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件；“m2或m6”是“yx2mxm3有两个不同零点”的充要条件其中正确的结论是_【解析】中，当a2时，有(a1)(a2)0；但当(a1)(a2)0时，a1或a2，不一定有a2.“a2”是“(a1)(a2)0”的充分不必要条件，正确a>bac2>bc2(c0)，但ac2>bc2a>b.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，错中，ab1且ac3时，l1与l2重合，但l1l2，即ab1，“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件，正确中，yx2mxm3有两个不同零点m24(m3)0m2或m6.是充要条件，正确【答案】充分条件、必要条件、充要条件的应用已知p：2，q：x22x1m20(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围【精彩点拨】先解出两个不等式，由p是q的充分不必要条件可得pq，qp.从解集的角度出发，p对应的集合要真包含于q对应的集合，从而建立关于m的不等式组，解出m的范围【自主解答】设A，Bx|x22x1m20，则AB.解不等式22x10，解不等式x22x1m201mx1m(m>0)，pq且qp，故AB，则或m9.1利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合Ax|p(x)和Bx|q(x)，然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围2判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性再练一题2已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解】令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa，由已知pq且q/p，得MN.或a<2或<a2a2，即所求a的取值范围是.探究共研型充要条件的证明探究1求a，b中至少有一个不为零的充要条件？【提示】判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法易得a，b中至少有一个不为零的充要条件是a2b2>0.探究2充要条件的证明与探求应注意哪些问题？【提示】(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.【精彩点拨】依题意，分别证明充分性和必要性【自主解答】必要性：由<，得<0，即<0.又由x>y，得yx<0.所以xy>0.充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.综上所述，<的充要条件是xy>0.1证明p是q的充要条件，既要证明命题“pq”为真，又要证明“qp”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性2证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论再练一题3求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.【证明】假设p：方程ax2bxc0有一个根是1，q：abc0.(1)证明pq，即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根，a·12b·1c0，即abc0.(2)证明qp，即证明充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.构建·体系1“|x|y|”是“xy”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】若x1，y1，则|x|y|，但xy；若xy，则|x|y|.【答案】B2已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“ab>0且ab>0”的() 【导学号：15460013】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】对于“a>0且b>0”可以推出“ab>0且ab>0”，反之也是成立的【答案】C3“”是“cos ”的_条件【解析】当时，必有cos ，但当cos 时，不一定有.例如还可取，因此“”是“cos ”的充分不必要条件【答案】充分不必要4若“xm”是“(x1)(x2)0”的充分不必要条件，则m的取值范围是_【解析】由(x1)(x2)0可得x2或x1，由已知条件，知x|xmx|x2或x1，m1.【答案】(，15判断下列各题中p是q的什么条件？(1)在ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：(a2)(a3)0，q：a3；(4)p：a<b，q：<1.【解】(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1得x<1或x>1，不一定有x>1.因此p是q的充分不必要条件(3)由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a