高中数学 1_3 中国古代数学中的算法案例学案 新人教b版必修3
“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3中国古代数学中的算法案例1.了解割圆术中无限通近的数学思想.2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程.(难点)3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质.(难点)基础·初探教材整理1更相减损之术(等值算法)阅读教材P27P28“探索与研究”以上部分，完成下列问题.求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数.(2)用“等值算法”求最大公约数的程序：用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为_.【解析】(98,280)(98,182)(98,84)(14,84)(14,70)(14,56)(14,42)(14,28)(14,14)，最大公约数为14.【答案】14教材整理2割圆术阅读教材P28P29，完成下列问题.用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值.我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率是()A.准确值B.近似值C.循环小数 D.有理数【答案】B教材整理3秦九韶算法阅读教材P30P31，完成下列问题.1.把一元n次多项式P(x)anxnan1xn1a1xa0改写为P(x)anxnan1xn1a1xa0(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0.令vk(anxan1)xan(k1)xank，则递推公式为：其中k1,2，n.2.计算P(x0)的方法：先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项.用秦九韶算法求多项式f(x)x33x22x11当xx0时的值时，应把f(x)变形为()A.x3(3x2)x11B.(x3)x2(2x11)C.(x1)(x2)x11D.(x3)x2)x11【解析】f(x)x33x22x11(x23x2)x11(x3)x2)x11.【答案】D质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求最大公约数用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数.【精彩点拨】按等值算法的步骤执行即可.【尝试解答】操作如下：(78,36)(42,36)(6,36)(6,30)(6,24)(6,18)(6,12)(6,6)，所以最大公约数为6.用更相减损之术求两数最大公约数时，是大数减小数恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数.再练一题1.用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数.【解】操作如下：(98,63)(35,63)(28,35)(7,28)(7,21)(7,14)(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.秦九韶算法的应用用秦九韶算法求多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x当x3时的值.【精彩点拨】改写多项式，确定v0，再依次计算vi，i1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3).【尝试解答】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x3时的值：由v07；v17×3627；v227×3586；v386×34262；v4262×33789；v5789×322 369；v62 369×317 108；v77 108×321 324，故x3时，多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x的值为21 324.利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确.再练一题2.用秦九韶算法求多项式f(x)1x0.5x20.166 67x30.041 67x40.008 33x5在x0.2时的值. 【导学号：25440021】【解】x0.2.a50.008 33v0a50.008 33，a40.041 67 v1v0xa40.04，a30.166 67 v2v1xa30.158 67，a20.5 v3v2xa20.468 27，a11 v4v3xa10.906 35，a01 v5v4xa00.818 73，所以f(0.2)0.818 73.探究共研型秦九韶算法中的运算次数探究1怎样计算多项式f(x)x5x4x3x2x1当x5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？【提示】f(5)55545352513 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算.探究2我们把多项式变形为f(x)x2(1x(1x(1x)x1，再统计一下计算当x5时的计算的种类及计算次数分别是什么？【提示】从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果.探究3怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？【提示】f(x)anxnan1xn1an2xn2a1xa0(anxn1an1xn2an2xn3a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1anxan1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.已知f(x)x52x43x34x25x6，用秦九韶算法求这个多项式当x2时的值时，做了几次乘法？几次加法？【精彩点拨】用秦九韶算法多项式的值时，要先将多项式改写成f(x)(anxan1)xa1)xa0，然后逐步计算乘法和加法的次数，但要注意v01时，也作了一次乘法.【尝试解答】在v1中虽然“v1224”，而计算机还是做了1次乘法“v12×124”.因为用秦九韶算法计算多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0当xx0时的值时，首先将多项式改写成f(x)(anxan1)xa1)xa0，然后再计算v1anxan1，v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.无论an是不是1，这次的乘法都是要进行的.由以上分析，共做了5次乘法，5次加法.利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法的次数，与多项式的未知数的最高次项的指数相同，加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同.再练一题3.用秦九韶算法求多项式f(x)4x5x22当x3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为()A.4,2B.5,3C.5,2 D.6,2【解析】f(x)4x5x22(4x)x)x1)x)x2，需5次乘法运算和2次加法运算.【答案】C1.用秦九韶算法计算f(x)6x54x4x32x29x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A.5,4B.5,5C.4,4D.4,5【解析】n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算.f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为514.故选D.【答案】D2.用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是() 【导学号：25440022】A.2 B.3 C.4 D.5【解析】(294,84)(210,84)(126,84)(42,84)(42,42)，需做4次减法.【答案】C3.用秦九韶算法求多项式f(x)1235x8x279x36x45x53x6在x4的值时，v4的值为()A.57 B.220 C.845 D.3 392【解析】v03，v1v0x5，v2v1x6，v3v2x79，v4v3x8，v4220.【答案】B4.用更相减损之术求36,24的最大公约数是_.【解析】362412,241212，因此36,24的最大公约数是12.【答案】125.用更相减损之术求80和36的最大公约数.【解】(80,36)(44,36)(8,36)(8,28)(8,20)(8,12)(8,4)(4,4)，所以80与36的最大公约数为4.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。
